Проектор Рисса - Riesz projector

В математика, а точнее в спектральная теория, то Проектор Рисса является проектором на собственное подпространство, соответствующее конкретному собственное значение оператора (или, в более общем смысле, проектора на инвариантное подпространство соответствующая изолированной части спектра). Он был представлен Фриджес Рис в 1912 г.^[1][2]

Определение

Позволять ${\displaystyle A}$ быть замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть простым или составным выпрямляемым контуром, охватывающим некоторую область ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ и полностью лежит в набор резольвент ${\displaystyle \rho (A)}$ (${\displaystyle \Gamma \subset \rho (A)}$) оператора ${\displaystyle A}$. Предполагая, что контур ${\displaystyle \Gamma }$ имеет положительную ориентацию по отношению к региону ${\displaystyle G_{\Gamma }}$, проектор Рисса, соответствующий ${\displaystyle \Gamma }$ определяется

${\displaystyle P_{\Gamma }=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }(A-zI_{\mathfrak {B}})^{-1}\,dz;}$

здесь ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ это оператор идентификации в ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Если ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$ единственная точка спектра ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle G_{\Gamma }}$, тогда ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ обозначается ${\displaystyle P_{\lambda }}$.

Характеристики

Оператор ${\displaystyle P_{\Gamma }}$ это проектор, который коммутирует с ${\displaystyle A}$, а значит, в разложении

${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\Gamma }\oplus {\mathfrak {N}}_{\Gamma }\qquad {\mathfrak {L}}_{\Gamma }=P_{\Gamma }{\mathfrak {B}},\quad {\mathfrak {N}}_{\Gamma }=(I_{\mathfrak {B}}-P_{\Gamma }){\mathfrak {B}},}$

оба условия ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\Gamma }}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\Gamma }}$ находятся инвариантные подпространства оператора ${\displaystyle A}$.Более того,

1. Спектр ограничения ${\displaystyle A}$ в подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\Gamma }}$ содержится в регионе ${\displaystyle G_{\Gamma }}$;
2. Спектр ограничения ${\displaystyle A}$ в подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\Gamma }}$ лежит за пределами закрытия ${\displaystyle G_{\Gamma }}$.

Если ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ два разных контура, обладающих свойствами, указанными выше, а области ${\displaystyle G_{\Gamma _{1}}}$и ${\displaystyle G_{\Gamma _{2}}}$ не имеют общих точек, то соответствующие им проекторы взаимно ортогональны:

${\displaystyle P_{\Gamma _{1}}P_{\Gamma _{2}}=P_{\Gamma _{2}}P_{\Gamma _{1}}=0.}$

Смотрите также

• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)
• Спектр оператора
• Резольвентный формализм
• Теория операторов

Рекомендации

1. Riesz, F .; С.-Надь, Б. (1956). Функциональный анализ. Blackie & Son Limited.
2. Gohberg, I.C; Крейн, М. Г. (1969). Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Providence, R.I.