Лемма Мазура - Mazurs lemma

В математика, Лемма Мазура это результат теории Банаховы пространства. Это показывает, что любой слабо сходящийся последовательность в банаховом пространстве имеет последовательность выпуклые комбинации его членов, который сильно сходится к тому же пределу и используется при доказательстве Теорема Тонелли.

Утверждение леммы

Позволять (Икс, || ||) - банахово пространство и пусть (ты_п)_п∈N быть последовательностью в Икс который слабо сходится к некоторым ты₀ в Икс:

${\displaystyle u_{n}\rightharpoonup u_{0}{\mbox{ as }}n\to \infty .}$

То есть на каждый непрерывный линейный функционал ж в Икс^∗, то непрерывное двойное пространство из Икс,

${\displaystyle f(u_{n})\to f(u_{0}){\mbox{ as }}n\to \infty .}$

Тогда существует функция N : N → N и последовательность наборов действительных чисел

${\displaystyle \{\alpha (n)_{k}|k=n,\dots ,N(n)\}}$

такой, что α(п)_k ≥ 0 и

${\displaystyle \sum _{k=n}^{N(n)}\alpha (n)_{k}=1}$

такая, что последовательность (v_п)_п∈N определяется выпуклой комбинацией

${\displaystyle v_{n}=\sum _{k=n}^{N(n)}\alpha (n)_{k}u_{k}}$

сильно сходится в Икс к ты₀, т.е.

${\displaystyle \|v_{n}-u_{0}\|\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty .}$

Рекомендации

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 350. ISBN  0-387-00444-0.