Теорема Тонеллиса (функциональный анализ) - Tonellis theorem (functional analysis)

В математика, Теорема Тонелли в функциональном анализе фундаментальный результат о слабый полунепрерывность снизу из нелинейный функционалы на L^п пробелы. Таким образом, это имеет серьезные последствия для функциональный анализ и вариационное исчисление. Грубо говоря, это показывает, что слабая полунепрерывность снизу для интегральных функционалов эквивалентна выпуклость интегрального ядра. Результат приписывают Итальянский математик Леонида Тонелли.

Формулировка теоремы

Пусть Ω - ограниченная домен в п-размерный Евклидово пространство р^п и разреши ж : р^м → р ∪ {± ∞} быть непрерывный расширенный реальный функция. Определить нелинейный функционал F по функциям ты : Ω →р^м к

${\displaystyle F[u]=\int _{\Omega }f(u(x))\,\mathrm {d} x.}$

потом F последовательно слабо ниже полунепрерывный на L^п Космос L^п(Ω;р^м) для 1 <п <+ ∞ и слабо- ∗ полунепрерывно снизу на L^∞(Ω;р^м) если и только если функция ж

${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ni u\mapsto f(u)\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\ }$

выпуклый.

Рекомендации

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 347. ISBN  0-387-00444-0. (Теорема 10.16)