Ограниченная вариация - Bounded variation

В математический анализ, функция ограниченная вариация, также известный как BV функция, это настоящий -значен функция чей полное изменение ограничен (конечен): график функции наличие этого свойства в точном смысле означает хорошее поведение. Для непрерывная функция одного Переменная, наличие ограниченной вариации означает, что расстояние вдоль направление из у-ось, пренебрегая вкладом движения по Икс-ось, путешествовал точка движение по графу имеет конечное значение. Для непрерывной функции нескольких переменных смысл определения тот же, за исключением того факта, что рассматриваемый непрерывный путь не может быть целым графиком данной функции (который является гиперповерхность в данном случае), но может быть каждый пересечение самого графа с гиперплоскость (в случае функций двух переменных a самолет ) параллельно фиксированной Икс-оси и к у-ось.

Функции ограниченной вариации - это как раз те функции, относительно которых можно найти Интегралы Римана – Стилтьеса. всех непрерывных функций.

Другая характеристика утверждает, что функции ограниченной вариации на компактном интервале - это в точности те ж что можно записать как разницу грамм − час, где оба грамм и час ограничены монотонный. В частности, функция BV может иметь разрывы, но в лучшем случае счетное множество.

В случае нескольких переменных функция ж определено на открытое подмножество Ω из ℝ^п имеет ограниченную вариацию, если ее производная по распределению это векторнозначный конечный Радоновая мера.

Одним из наиболее важных аспектов функций ограниченной вариации является то, что они образуют алгебра из прерывистые функции чья первая производная существует почти всюду: по этой причине они могут и часто используются для определения обобщенные решения нелинейных задач с участием функционалы, обычный и уравнения в частных производных в математика, физика и инженерное дело.

У нас есть следующие цепочки включений для непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой:

Непрерывно дифференцируемый ⊆ Липшицева непрерывная ⊆ абсолютно непрерывный ⊆ непрерывная и ограниченная вариация ⊆ дифференцируемый почти всюду

История

По словам Бориса Голубова, BV функции одной переменной были впервые введены Камилла Джордан, в статье (Иордания 1881 ) о сходимости Ряд Фурье. Первый успешный шаг в обобщении этой концепции на функции нескольких переменных был сделан благодаря Леонида Тонелли,^[1] кто представил класс непрерывный BV функционирует в 1926 г. (Чезари 1986, pp. 47–48), чтобы расширить его прямой метод для поиска решений проблем в вариационное исчисление более чем в одной переменной. Десять лет спустя, в (Чезари 1936 ), Ламберто Чезари изменил требование непрерывности в определении Тонелли к менее строгому интегрируемость требование, впервые получив класс функций ограниченной вариации многих переменных в его полной общности: как и до него Жордан, он применил эту концепцию для решения проблемы сходимости рядов Фурье, но для функций две переменные. После него подали заявки несколько авторов. BV функции для изучения Ряд Фурье в нескольких переменных, геометрическая теория меры, вариационное исчисление и математическая физика. Ренато Каччопполи и Эннио де Джорджи использовал их для определения мера из негладкий границы из наборы (см. запись "Набор Caccioppoli " для дополнительной информации). Ольга Арсеньевна Олейник представила свой взгляд на обобщенные решения для нелинейный уравнения в частных производных как функции из космоса BV в газете (Олейник 1957 г. ), и смог построить обобщенное решение ограниченной вариации первый заказ уравнение в частных производных в статье (Олейник 1959 г. ): несколько лет спустя, Эдвард Д. Конвей и Джоэл А. Смоллер применяемый BV-функции к изучению одиночного нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных первого порядка в статье (Конвей и Смоллер 1966 ), доказывая, что решение Задача Коши для таких уравнений является функцией ограниченной вариации, если Первоначальный значение принадлежит к тому же классу. Вольперт Айзик Исаакович широко разработал исчисление для BV функции: в статье (Вольперт 1967 ) он доказал цепное правило для функций BV и в книге (Худжаев и Вольперт 1985 ) он вместе со своим учеником Сергей Иванович Худжаев, подробно исследовали свойства BV функции и их применение. Его формула цепного правила позже была расширена Луиджи Амбросио и Джанни Даль Мазо в газете (Амбросио и Даль Мазо 1990 ).

Формальное определение

BV функции одной переменной

Определение 1.1. В полное изменение^[2] непрерывного настоящий -значен (или в более общем смысле сложный -значен) функция ж, определенные на интервал [а, б] ⊂ ℝ - величина

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

где супремум берется за множество ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$ из всех перегородки рассматриваемого интервала.

Если ж является дифференцируемый и его производная интегрируема по Риману, его полная вариация является вертикальной составляющей длина дуги его графика, то есть

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

Определение 1.2. Непрерывная функция с действительными значениями ${\displaystyle f}$ на реальная линия говорят, что из ограниченная вариация (Функция BV) на выбранном интервал [а, б] ⊂ ℝ, если его полная вариация конечна, т.е.

${\displaystyle f\in {\text{BV}}([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

Можно доказать, что действительная функция ƒ имеет ограниченную вариацию по ${\displaystyle [a,b]}$ тогда и только тогда, когда это можно записать как разницу ƒ = ƒ₁ − ƒ₂ двух неубывающих функций на ${\displaystyle [a,b]}$: этот результат известен как Разложение Жордана функции и это связано с Жорданов разложение меры.

Сквозь Интеграл Стилтьеса, любая функция ограниченной вариации на отрезке [а, б] определяет ограниченный линейный функционал на C([а, б]). В этом частном случае^[3] в Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани утверждает, что каждый ограниченный линейный функционал возникает таким образом однозначно. Нормированные положительные функционалы или вероятностные меры соответствуют положительным неубывающим нижним полунепрерывные функции. Эта точка зрения была важна вспектральная теория,^[4] в частности в его применении к обыкновенные дифференциальные уравнения.

BV функции нескольких переменных

Функции ограниченной вариации, BV функции, - функции, распределение которых производная это конечный^[5] Радоновая мера. Точнее:

Определение 2.1. Позволять ${\displaystyle \Omega }$ быть открытое подмножество из ℝ^п. Функция ${\displaystyle u}$ принадлежащий ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ говорится о ограниченная вариация (Функция BV), и написано

${\displaystyle u\in BV(\Omega )}$

если существует конечный вектор Радоновая мера ${\displaystyle \scriptstyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ такое, что имеет место равенство

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

то есть, ${\displaystyle u}$ определяет линейный функционал на пространстве ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ из непрерывно дифференцируемый векторные функции ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}}$ из компактная опора содержалась в ${\displaystyle \Omega }$: вектор мера ${\displaystyle Du}$ представляет поэтому распределительный или же слабый градиент из ${\displaystyle u}$.

BV можно определить эквивалентным образом следующим образом.

Определение 2.2. Учитывая функцию ${\displaystyle u}$ принадлежащий ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$, то полное изменение ${\displaystyle u}$^[2] в ${\displaystyle \Omega }$ определяется как

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$ это существенный супремум норма. Иногда, особенно в теории Наборы Caccioppoli, используются следующие обозначения

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

чтобы подчеркнуть, что ${\displaystyle V(u,\Omega )}$ это полная вариация распределительный / слабый градиент из ${\displaystyle u}$. Это обозначение напоминает также, что если ${\displaystyle u}$ классный ${\displaystyle C^{1}}$ (т.е. непрерывный и дифференцируемая функция имея непрерывный производные ) тогда его вариация это точно интеграл из абсолютная величина своего градиент.

Пространство функции ограниченной вариации (BV функции) тогда можно определить как

${\displaystyle BV(\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

Эти два определения эквивалентны, поскольку если ${\displaystyle \scriptstyle V(u,\Omega )<+\infty }$ тогда

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

следовательно ${\textstyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ определяет непрерывный линейный функционал на пространстве ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$. С ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ как линейное подпространство, это непрерывный линейный функционал может быть продлен непрерывно и линейно в целом ${\displaystyle \scriptstyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ посредством Теорема Хана – Банаха. Следовательно, непрерывный линейный функционал определяет Радоновая мера посредством Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани.

Локально BV функции

Если функциональное пространство из локально интегрируемые функции, т.е. функции принадлежащий ${\displaystyle \scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$, рассматривается в предыдущих определениях 1.2, 2.1 и 2.2 вместо одного из глобально интегрируемые функции, то определенное функциональное пространство является пространством функции локально ограниченной вариации. А именно, развивая эту идею для определение 2.2, а местный вариация определяется следующим образом,

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

для каждого набор ${\displaystyle \scriptstyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$, определив ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ как набор всех прекомпактный открытые подмножества из ${\displaystyle \Omega }$ по стандарту топология из конечномерный векторные пространства, и соответственно класс функций локально ограниченной вариации определяется как

${\displaystyle BV_{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon V(u,U)<+\infty \;\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )\}}$

Обозначение

В основном существуют два различных соглашения для обозначения пространств функций с локально или глобально ограниченными вариациями, и, к сожалению, они очень похожи: первое, принятое в этой статье, используется, например, в ссылках Джусти (1984) (частично), Худжаев и Вольперт (1985) (частично), Джаквинта, Модика и Соучек (1998) и следующий

• ${\displaystyle \scriptstyle BV(\Omega )}$ определяет Космос функций глобально ограниченной вариации
• ${\displaystyle \scriptstyle BV_{loc}(\Omega )}$ определяет Космос функций локально ограниченной вариации

Второй, принятый в литературе Вольперт (1967) и Мазья (1985) (частично), это следующее:

• ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {BV}}(\Omega )}$ определяет Космос функций глобально ограниченной вариации
• ${\displaystyle \scriptstyle BV(\Omega )}$ определяет Космос функций локально ограниченной вариации

Основные свойства

Только общие для функции одной переменной и до функции нескольких переменных будут рассмотрены ниже, а доказательства будет продолжаться только для функций нескольких переменных, так как доказательство для случая одной переменной представляет собой прямую адаптацию случая нескольких переменных: также в каждом разделе будет указано, используется ли это свойство также для функций локально ограниченной вариации или нет. Рекомендации (Джусти 1984, стр. 7–9), (Худжаев и Вольперт 1985 ) и (Màlek et al. 1996 г. ) широко используются.

BV функции имеют только скачкообразные или устранимые разрывы

В случае одной переменной утверждение ясно: для каждой точки ${\displaystyle x_{0}}$ в интервал ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ определения функции ${\displaystyle u}$, выполняется одно из следующих двух утверждений

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

в то время как оба пределы существуют и конечны. В случае функций нескольких переменных необходимо понять некоторые предпосылки: во-первых, существует континуум из направления по которой можно подойти к заданной точке ${\displaystyle x_{0}}$ принадлежащий домену ${\displaystyle \Omega }$⊂ℝ^п. Необходимо уточнить подходящую концепцию предел: выбирая единичный вектор ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ можно разделить ${\displaystyle \Omega }$ в двух наборах

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

Затем для каждой точки ${\displaystyle x_{0}}$ принадлежащий домену ${\displaystyle \scriptstyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$ из BV функция ${\displaystyle u}$, верно только одно из следующих двух утверждений

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

или же ${\displaystyle x_{0}}$ принадлежит подмножество из ${\displaystyle \Omega }$ имея ноль ${\displaystyle n-1}$-размерный Мера Хаусдорфа. Количество

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

называются приблизительные пределы из BV функция ${\displaystyle u}$ в момент ${\displaystyle x_{0}}$.

V(·, Ω) полунепрерывно снизу на L¹(Ом)

В функциональный ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega ):BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ является нижний полунепрерывный: чтобы увидеть это, выберите Последовательность Коши из BV-функции ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ сходится к ${\displaystyle \scriptstyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$. Тогда, поскольку все функции последовательности и их предельная функция равны интегрируемый и по определению Нижний предел

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

Теперь учитывая супремум по набору функций ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ такой, что ${\displaystyle \scriptstyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$ то верно следующее неравенство

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

что и есть определение полунепрерывность снизу.

BV(Ω) - банахово пространство

По определению ${\displaystyle BV(\Omega )}$ это подмножество из ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$, пока линейность следует из свойств линейности определяющего интеграл т.е.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ следовательно ${\displaystyle \scriptstyle u+v\in BV(\Omega )}$для всех ${\displaystyle \scriptstyle u,v\in BV(\Omega )}$, и

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

для всех ${\displaystyle \scriptstyle c\in \mathbb {R} }$, следовательно ${\displaystyle \scriptstyle cu\in BV(\Omega )}$ для всех ${\displaystyle \scriptstyle u\in BV(\Omega )}$, и все ${\displaystyle \scriptstyle c\in \mathbb {R} }$. Доказанные векторное пространство свойства подразумевают, что ${\displaystyle BV(\Omega )}$ это векторное подпространство из ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$. Рассмотрим теперь функцию ${\displaystyle \scriptstyle \|\;\|_{BV}:BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ определяется как

${\displaystyle \|u\|_{BV}:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle \|\;\|_{L^{1}}}$ это обычный ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ норма: легко доказать, что это норма на ${\displaystyle BV(\Omega )}$. Чтобы увидеть это ${\displaystyle BV(\Omega )}$ является полный по отношению к нему, т.е. это Банахово пространство рассмотрим Последовательность Коши ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ в ${\displaystyle BV(\Omega )}$. По определению это также Последовательность Коши в ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ и поэтому имеет предел ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$: поскольку ${\displaystyle u_{n}}$ ограничен в ${\displaystyle BV(\Omega )}$ для каждого ${\displaystyle n}$, тогда ${\displaystyle \scriptstyle \Vert u\Vert _{BV}<+\infty }$ к полунепрерывность снизу вариации ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega )}$, следовательно ${\displaystyle u}$ это BV функция. Наконец, опять же по полунепрерывности снизу, выбирая произвольное малое положительное число ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{BV}<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

Из этого мы заключаем, что ${\displaystyle \scriptstyle V(\cdot ,\Omega )}$ непрерывно, потому что это норма.

BV(Ω) не отделима

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий пример, принадлежащий пространству ${\displaystyle BV([0,1])}$:^[6] для каждого 0 <α <1 определить

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

как характеристическая функция из левый закрытый интервал ${\displaystyle [\alpha ,1]}$. Затем, выбирая α, β∈${\displaystyle [0,1]}$ такой, что α≠β верно следующее соотношение:

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{BV}=2}$

Теперь, чтобы доказать, что каждый плотное подмножество из ${\displaystyle BV(]0,1[)}$ не может быть счетный, достаточно увидеть, что для каждого ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ можно построить мячи

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in BV([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{BV}\leq 1\right\}}$

Очевидно, эти шары попарно непересекающиеся, а также индексированная семья из наборы чей набор индексов является ${\displaystyle [0,1]}$. Это означает, что это семейство имеет мощность континуума: now, поскольку каждое плотное подмножество ${\displaystyle BV([0,1])}$ должен иметь по крайней мере точку внутри каждого члена этого семейства, его мощность должна быть не меньше мощности континуума и, следовательно, не может быть счетным подмножеством.^[7] Этот пример, очевидно, может быть расширен на более высокие измерения, и поскольку он включает только местные свойства, это означает, что то же свойство верно и для ${\displaystyle BV_{loc}}$.

Цепное правило для BV функции

Правила цепочки за негладкие функции очень важны в математика и математическая физика поскольку есть несколько важных физические модели чье поведение описано функции или же функционалы с очень ограниченной степенью гладкость. Следующее цепное правило доказано в статье (Вольперт 1967, п. 248). Отметить все частные производные следует интерпретировать в обобщенном смысле, т. е. как обобщенные производные.

Теорема. Позволять ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$ быть функцией класса ${\displaystyle C^{1}}$ (т.е. непрерывный и дифференцируемая функция имея непрерывный производные ) и разреши ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$ быть функцией в ${\displaystyle BV(\Omega )}$ с ${\displaystyle \Omega }$ будучи открытое подмножество из ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$.Потом ${\displaystyle \scriptstyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in BV(\Omega )}$ и

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$ - среднее значение функции в точке ${\displaystyle \scriptstyle x\in \Omega }$, определяется как

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

Более общий Правило цепи формула за Липшицевы непрерывные функции ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$ был найден Луиджи Амбросио и Джанни Даль Мазо и опубликован в статье (Амбросио и Даль Мазо 1990 ). Однако даже эта формула имеет очень важные прямые последствия: использование ${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$ на месте ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$, куда ${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$ также ${\displaystyle BV}$ функция и выбор ${\displaystyle f((u,v))=uv}$, предыдущая формула дает Правило Лейбница за ${\displaystyle BV}$ функции

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

Отсюда следует, что произведение двух функций ограниченной вариации снова является функцией ограниченной вариации, следовательно ${\displaystyle BV(\Omega )}$ является алгебра.

BV(Ω) - банахова алгебра

Это свойство непосредственно следует из того, что ${\displaystyle BV(\Omega )}$ это Банахово пространство а также ассоциативная алгебра: это означает, что если ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ находятся Последовательности Коши из ${\displaystyle BV}$ функции, сходящиеся соответственно к функции ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle BV(\Omega )}$, тогда

${\displaystyle {\begin{matrix}vu_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\\v_{n}u{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\end{matrix}}\quad \Longleftrightarrow \quad vu\in BV(\Omega )}$

поэтому обычный продукт функций является непрерывный в ${\displaystyle BV(\Omega )}$ относительно каждого аргумента, делая это функциональное пространство Банахова алгебра.

Обобщения и расширения

Взвешенный BV функции

Можно обобщить приведенное выше понятие полное изменение так что разные варианты имеют разный вес. Точнее, пусть ${\displaystyle \scriptstyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$ - любая возрастающая функция такая, что ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$ (в весовая функция) и разреши ${\displaystyle \scriptstyle f:[0,T]\longrightarrow X}$ быть функцией от интервал ${\displaystyle [0,T]}$⊂ℝ, принимающая значения в нормированное векторное пространство ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varphi }}}$-вариация из ${\displaystyle f}$ над ${\displaystyle [0,T]}$ определяется как

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

где, как обычно, супремум берется по всем конечным перегородки интервала ${\displaystyle [0,T]}$, т.е. все конечные множества из действительные числа ${\displaystyle t_{i}}$ такой, что

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

Первоначальное представление о вариация рассмотренный выше частный случай ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$-вариация, для которой весовой функцией является функция идентичности: поэтому интегрируемая функция ${\displaystyle f}$ считается взвешенный BV функция (веса ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$) тогда и только тогда, когда его ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$-вариация конечна.

${\displaystyle f\in BV_{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

Космос ${\displaystyle \scriptstyle BV_{\varphi }([0,T];X)}$ это топологическое векторное пространство с уважением к норма

${\displaystyle \|f\|_{BV_{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle \|f\|_{\infty }}$ обозначает обычный верхняя норма из ${\displaystyle f}$. Взвешенный BV функции были введены и изучены в полной общности Владислав Орлич и Юлиан Мусиелак в газете Musielak & Orlicz 1959: Лоуренс Чисхолм Янг ранее изученный случай ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (x)=x^{p}}$ куда ${\displaystyle p}$ положительное целое число.

SBV функции

Функции SBV т.е. Специальные функции ограниченной вариации были представлены Луиджи Амбросио и Эннио де Джорджи в газете (Амбросио и Де Джорджи 1988 ), имея дело со свободным разрывом вариационные задачи: учитывая открытое подмножество ${\displaystyle \Omega }$ из ℝ^п, космос ${\displaystyle SBV(\Omega )}$ это правильный линейное подпространство из ${\displaystyle BV(\Omega )}$, поскольку слабый градиент каждой функции, принадлежащей ему, состоит в точности из сумма из ${\displaystyle n}$-размерный поддерживать и ${\displaystyle n-1}$-размерный поддерживать мера и без промежуточных терминов, как видно из следующего определения.

Определение. Учитывая локально интегрируемая функция ${\displaystyle u}$, тогда ${\displaystyle \scriptstyle u\in {S\!BV}(\Omega )}$ если и только если

1. Есть два Борелевские функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ из домен ${\displaystyle \Omega }$ и codomain ℝ^п такой, что

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. Для всех непрерывно дифференцируемый векторные функции ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ из компактная опора содержалась в ${\displaystyle \Omega }$, т.е. для всех ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ верна следующая формула:

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

куда ${\displaystyle H^{\alpha }}$ это ${\displaystyle \alpha }$-размерный Мера Хаусдорфа.

Подробно о свойствах SBV функции можно найти в работах, цитируемых в разделе библиографии: в частности, в статье (Де Джорджи 1992 ) содержит полезный Библиография.

bv последовательности

Как частные примеры Банаховы пространства, Данфорд и Шварц (1958, Глава IV) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFDunfordSchwartz1958 (помощь) рассматривать пространства последовательности ограниченной вариации, помимо пространств функций ограниченной вариации. Полная вариация последовательность Икс = (Икс_я) действительных или комплексных чисел определяется как

${\displaystyle TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Пространство всех последовательностей конечной полной вариации обозначается через bv. Норма на bv дан кем-то

${\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

При этой норме пространство bv - банахово пространство, изоморфное ${\displaystyle \ell _{1}}$.

Сама полная вариация определяет норму на некотором подпространстве bv, обозначаемый bv₀, состоящий из последовательностей Икс = (Икс_я) для которого

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

Норма на bv₀ обозначается

${\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=TV(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Относительно этой нормы bv₀ также становится банаховым пространством, которое изоморфно и изометрично ${\displaystyle \ell _{1}}$ (хотя и не естественным образом).

Меры ограниченной вариации

А подписанный (или же сложный ) мера ${\displaystyle \mu }$ на измеримое пространство ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ называется ограниченной вариацией, если ее полное изменение ${\displaystyle \scriptstyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$ ограничен: см. Халмос (1950, п. 123), Колмогоров и Фомин (1969, п. 346) или запись "Общая вариация "для получения дополнительной информации.

Примеры

Функция ж(Икс) = грех (1 /Икс) является нет ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$.

Как упоминалось во введении, два больших класса примеров функций BV - это монотонные функции и абсолютно непрерывные функции. Отрицательный пример: функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

является нет ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Функция ж(Икс) = Икс грех (1 /Икс) является нет ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$.

Хотя это и сложнее увидеть, непрерывная функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

является нет ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$ либо.

Функция ж(Икс) = Икс² грех (1 /Икс) является ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$.

В то же время функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

имеет ограниченную вариацию на интервале ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$. Тем не мение, все три функции имеют ограниченную вариацию на каждом интервале ${\displaystyle [a,b]}$ с ${\displaystyle a>0}$.

В Соболевское пространство ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ это правильное подмножество из ${\displaystyle BV(\Omega )}$. Фактически, для каждого ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ можно выбрать мера ${\displaystyle \scriptstyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}}$ (куда ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}}$ это Мера Лебега на ${\displaystyle \Omega }$) такое, что равенство

${\displaystyle \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}}$

справедливо, поскольку это не более чем определение слабая производная, и, следовательно, верно. Легко найти пример BV функция, которая не ${\displaystyle W^{1,1}}$: в размерности один подойдет любая ступенчатая функция с нетривиальным скачком.

Приложения

Математика

Функции ограниченной вариации изучались в связи с множеством разрывы функций и дифференцируемости действительных функций, и следующие результаты хорошо известны. Если ${\displaystyle f}$ это настоящий функция ограниченной вариации на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ тогда

• ${\displaystyle f}$ является непрерывный кроме не более чем на счетный набор;
• ${\displaystyle f}$ имеет односторонние ограничения везде (пределы слева везде в ${\displaystyle (a,b]}$, и справа везде в ${\displaystyle [a,b)}$ ;
• в производная ${\displaystyle f'(x)}$ существуют почти всюду (т.е. за исключением набора измерять ноль ).

За настоящий функции нескольких реальных переменных

• в характеристическая функция из Набор Caccioppoli это BV функция: BV функции лежат в основе современной теории периметров.
• Минимальные поверхности находятся графики из BV функции: в этом контексте см. ссылку (Джусти 1984 ).

Физика и инженерия

Способность BV Функции для работы с разрывами получили широкое распространение в прикладных науках: решения задач механики, физики, химической кинетики очень часто могут быть представлены функциями ограниченной вариации. Книга (Худжаев и Вольперт 1985 ) подробно описывает очень обширный набор приложений математической физики BV функции. Также есть несколько современных приложений, которые заслуживают краткого описания.

• В Функционал Мамфорда – Шаха: задача сегментации для двумерного изображения, т.е. проблема точного воспроизведения контуров и серых шкал эквивалентна минимизация таких функциональный.
• Полное изменение шумоподавления

Смотрите также

• Ренато Каччопполи
• Набор Caccioppoli
• Ламберто Чезари
• Эннио де Джорджи
• Теорема выбора Хелли
• Локально интегрируемая функция
• L^п(Ω) пространство
• Интеграл Лебега – Стилтьеса.
• Радоновая мера
• Приведенная производная
• Интеграл Римана – Стилтьеса.
• Общая вариация
• Вольперт Айзик Исаакович
• Полное изменение шумоподавления

Примечания

1. Тонелли представил то, что теперь называется в его честь Вариация самолета Тонелли: для анализа этой концепции и ее отношений с другими обобщениями см. статью "Общая вариация ".
2. См. Запись "Общая вариация "для получения дополнительных сведений и дополнительной информации.
3. См. Например Колмогоров и Фомин (1969 С. 374–376).
4. Для общей справки по этой теме см. Рис и Сёкефальви-Надь (1990)
5. В этом контексте «конечный» означает, что его ценность никогда не бывает бесконечный, т.е. это конечная мера.
6. Пример взят из Джаквинта, Модика и Соучек (1998 г., п. 331): см. Также (Каннан и Крюгер 1996, пример 9.4.1, п. 237).
7. Тот же аргумент используется Колмогоров и Фомин (1969, пример 7, с. 48–49), чтобы доказать отделимость пространства ограниченные последовательности, а также Каннан и Крюгер (1996, пример 9.4.1, п. 237).

Рекомендации

Исследовательские работы

• Амбросио, Луиджи; Фуско, Никола; Паллара, Диего (2000), Функции ограниченной вариации и задачи со свободным разрывом, Oxford Mathematical Monographs, Oxford: The Clarendon Press / Oxford University Press, стр. Xviii + 434, ISBN  978-0-19-850245-6, МИСТЕР  1857292, Zbl  0957.49001.
• Брудный Юрий (2007), "Функции многих переменных ограниченного (k, п)–Вариация » в Randrianantoanina, Беата; Randrianantoanina, Нарцисс (ред.), Банаховы пространства и их приложения в анализе. Материалы международной конференции, Университет Майами, Оксфорд, Огайо, США, 22–27 мая 2006 г. В честь 60-летия Найджела Калтона, Берлин – Бостон: Вальтер Де Грюйтер, стр. 37–58, Дои:10.1515/9783110918298.37, ISBN  978-3-11-019449-4, МИСТЕР  2374699, Zbl  1138.46019
• Данфорд, Нельсон; Джейкоб Т., Шварц (1958), Линейные операторы. Часть I: Общая теория, Чистая и прикладная математика, VII, Нью-Йорк – Лондон – Сидней: Wiley-Interscience, ISBN  0-471-60848-3, Zbl  0084.10402. Включает обсуждение функционально-аналитических свойств пространств функций ограниченной вариации.
• Джакинта, Мариано; Модика, Джузеппе; Соучек, Иржи (1998), Декартовы токи в вариационном исчислении I, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 37, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN  3-540-64009-6, Zbl  0914.49001.
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации, Монографии по математике, 80, Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. XII + 240, ISBN  978-0-8176-3153-6, МИСТЕР  0775682, Zbl  0545.49018, в частности, часть I, глава 1 "Функции ограниченной вариации и множества Каччопполи". Хороший справочник по теории Наборы Caccioppoli и их применение к минимальная поверхность проблема.
• Халмос, Пол (1950), Теория меры, Ван Ностранд и Ко, ISBN  978-0-387-90088-9, Zbl  0040.16802. Ссылка на предварительный просмотр более позднего переиздания Springer-Verlag.
• Худжаев Сергей Иванович; Вольперт Айзик Исаакович (1985), Анализ в классах разрывных функций и уравнений математической физики, Механика: анализ, 8, Дордрехт – Бостон – Ланкастер: издательство Martinus Nijhoff, ISBN  90-247-3109-7, МИСТЕР  0785938, Zbl  0564.46025. Вся книга посвящена теории BV функции и их приложения к проблемам в математическая физика с участием прерывистые функции и геометрические объекты с негладкий границы.
• Каннан, Рангачари; Крюгер, Кэрол Кинг (1996), Расширенный анализ на реальной линии, Universitext, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. X + 259, ISBN  978-0-387-94642-9, МИСТЕР  1390758, Zbl  0855.26001. Пожалуй, самый полный справочник по теории теории BV функции одной переменной: классические результаты и расширенные результаты собраны в главе 6 "Ограниченная вариация"вместе с несколькими упражнениями. Первый автор был соавтором Ламберто Чезари.
• Колмогоров, Андрей Н.; Фомин, Сергей В. (1969), Вводный реальный анализ, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. Xii + 403, ISBN  0-486-61226-0, МИСТЕР  0377445, Zbl  0213.07305.
• Леони, Джованни (2017), Первый курс в пространствах Соболева, Аспирантура по математике (второе изд.), Американское математическое общество, стр. Xxii + 734, ISBN  978-1-4704-2921-8.
• Малек, Йозеф; Некас, Йиндржих; Рокита, Мирко; Ружичка, Майкл (1996), Слабые и мерозначные решения эволюционных уравнений в частных производных, Прикладная математика и математические вычисления, 13, Лондон – Вайнхейм – Нью-Йорк – Токио – Мельбурн – Мадрас: Chapman & Hall CRC Press, стр. Xi + 331, ISBN  0-412-57750-X, МИСТЕР  1409366, Zbl  0851.35002. Одна из наиболее полных монографий по теории Молодые меры, ориентированный на приложения в механике сплошных сред жидкости.
• Мазья Владимир Григорьевич (1985), Соболевские пространства, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-13589-8, Zbl  0692.46023; в частности, глава 6 "О функциях в пространстве BV(Ом)". Одна из лучших монографий по теории Соболевские пространства.
• Моро, Жан Жак (1988), «Ограниченное изменение во времени», в Moreau, J. J .; Panagiotopoulos, P.D .; Стрэнг, Г. (ред.), Темы негладкой механики, Базель – Бостон – Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. 1–74, ISBN  3-7643-1907-0, Zbl  0657.28008
• Musielak, Джулиан; Орлич, Владислав (1959), «Об обобщенных вариациях (I)» (PDF), Studia Mathematica, Варшава – Вроцлав, 18: 13–41, Дои:10.4064 / см-18-1-11-41, Zbl  0088.26901. В этой статье Муселак и Орлич разработали концепцию взвешенного BV функции, введенные Лоуренс Чисхолм Янг до его полной общности.
• Рис, Фриджес; Сёкефалви-Надь, Бела (1990), Функциональный анализ, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-66289-6, Zbl  0732.47001
• Вольперт, Айзик Исаакович (1967), "Пространства BV и квазилинейные уравнения », Математический сборник, (Н.С.), 73 (115) (2): 255–302, МИСТЕР  0216338, Zbl  0168.07402. Основополагающая статья, в которой Наборы Caccioppoli и BV функции тщательно изучены, а понятие функциональная суперпозиция вводится и применяется к теории уравнения в частных производных: это также было переведено на английский как Vol'Pert, A I (1967), "Пространства" BV и квазилинейные уравнения », Математика СССР-Сборник, 2 (2): 225–267, Дои:10.1070 / SM1967v002n02ABEH002340, HDL:10338.dmlcz / 102500, МИСТЕР  0216338, Zbl  0168.07402.

Исторические ссылки

• Адамс, К. Раймонд; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации для функций двух переменных», Труды Американского математического общества, 35 (4): 824–854, Дои:10.1090 / S0002-9947-1933-1501718-2, МИСТЕР  1501718, Zbl  0008.00602.
• Альберти, Джованни; Мантегацца, Карло (1997), "Заметка по теории функций SBV", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, IV серия, 11 (2): 375–382, МИСТЕР  1459286, Zbl  0877.49001. В этой статье авторы доказывают компактность пространства функций SBV.
• Амбросио, Луиджи; Даль Масо, Джанни (1990), «Общее правило цепочки для распределительных производных», Труды Американского математического общества, 108 (3): 691, Дои:10.1090 / S0002-9939-1990-0969514-3, МИСТЕР  0969514, Zbl  0685.49027. Статья, содержащая очень общие Правило цепи формула для сочинение функций BV.
• Амбросио, Луиджи; Де Джорджи, Эннио (1988), "Un nuovo tipo di funzionale del calcolo delle variazioni" [Новый вид функционала в вариационном исчислении], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, VIII (на итальянском языке), LXXXII (2): 199–210, МИСТЕР  1152641, Zbl  0715.49014. Первая статья о SBV функции и связанные с ними вариационные задачи.
• Чезари, Ламберто (1936), "Sulle funzioni a variazione limitata", Annali della Scuola Normale Superiore, Серия II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, МИСТЕР  1556778, Zbl  0014.29605. Доступны на Numdam. В газете "О функциях ограниченной вариации"(Английский перевод названия) Cesari он расширяет теперь называемый Вариация самолета Тонелли понятие включить в определение подкласс класса интегрируемых функций.
• Чезари, Ламберто (1986), "L'opera di Leonida Tonelli e la sua influenza nel pensiero scientifico del secolo", в Монталенти, Дж .; Америо, Л.; Acquaro, G .; Baiada, E .; и другие. (ред.), Праздничный конвент дель столетия делла наскита ди Мауро Пиконе и Леонида Тонелли (6–9 мая 1985 г.), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 77, Рома: Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 41–73, архивировано с оригинал 23 февраля 2011 г., получено 23 января 2007. "Работа Леониды Тонелли и его влияние на научное мышление в этом веке«(Английский перевод названия) - обширная памятная статья, рассказывающая о воспоминаниях автора об учителях и коллегах, а также подробный обзор его и их научных работ, представленных на Международный конгресс по случаю 100-летия со дня рождения Мауро Пиконе и Леониды Тонелли (проходил в Риме 6–9 мая 1985 г.).
• Конвей, Эдвард Д .; Смоллер, Джоэл А. (1966), "Глобальные решения задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка с несколькими пространственными переменными", Сообщения по чистой и прикладной математике, 19 (1): 95–105, Дои:10.1002 / cpa.3160190107, МИСТЕР  0192161, Zbl  0138.34701. Важная статья, в которой свойства BV были применены функции для получения глобального по времени теорема существования за Один гиперболические уравнения первого порядка в любом количестве переменные.
• Де Джорджи, Эннио (1992), "Problemi variazionali con discontinuità libere", в Амальди, Э.; Америо, Л.; Фичера, Г.; Грегори, Т .; Гриоли, Г.; Мартинелли, Э.; Montalenti, G .; Пиньдоли, А.; Сальвини, Джорджио; Скорца Драгони, Джузеппе (ред.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 октября 1990 г.), Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 92, Рома: Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 39–76, ISSN  0391-805X, МИСТЕР  1783032, Zbl  1039.49507, заархивировано из оригинал 7 января 2017 г., получено 11 марта 2007. Обзорная статья о свободном прерывании вариационные задачи включая несколько деталей теории SBV функции, их приложения и богатая библиография.
• Фалескини, Бруно (1956a), "Sulle Definizioni e proprietà delle Funzioni a variazione limitata di due variabili. Nota I." [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Серия III (на итальянском языке), 11 (1): 80–92, МИСТЕР  0080169, Zbl  0071.27901. Первая часть обзора множества различных определений "Общая вариация"и присоединенные функции ограниченной вариации.
• Фалескини, Бруно (1956b), "Sulle Definizioni e proprietà delle Funzioni a variazione limitata di due variabili. Nota II." [Об определениях и свойствах функций ограниченной вариации двух переменных. Примечание I], Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Серия III (на итальянском языке), 11 (2): 260–75, МИСТЕР  0080169, Zbl  0073.04501. Вторая часть обзора множества различных определений "Общая вариация"и присоединенные функции ограниченной вариации.
• Иордания, Камилла (1881), "Sur la série de Fourier" [О рядах Фурье], Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 92: 228–230 (в Галлика ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
• Олейник Ольга Александровна (1957), «Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений», Успехи математических наук., 12 (3(75)): 3–73, Zbl  0080.07701 ((на русском)). Важная статья, в которой автор описывает обобщенные решения нелинейный уравнения в частных производных в качестве BV функции.
• Олейник Ольга Александровна (1959), «Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения« исчезающей вязкости »."", Успехи математических наук., 14 (2(86)): 159–164, Zbl  0096.06603 ((на русском)). Важная статья, в которой автор строит слабое решение в BV для нелинейный уравнение в частных производных с методом исчезающая вязкость.
• Тони Ф. Чан и Цзяньхун (Джеки) Шен (2005), Обработка и анализ изображений - вариационные, PDE, вейвлетные и стохастические методы, Издатель SIAM, ISBN  0-89871-589-X (с подробным описанием и широким применением ограниченных вариаций в современной обработке изображений, начатых Рудином, Ошером и Фатеми).

внешняя ссылка

Теория

• Голубов, Борис I .; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], «Вариация функции», Энциклопедия математики, EMS Press
• «Функция BV». PlanetMath..
• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная вариация». MathWorld.
• Функция ограниченной вариации в Энциклопедия математики

Другой

• Луиджи Амбросио домашняя страница на Scuola Normale Superiore di Pisa. Академическая домашняя страница (с препринтами и публикациями) одного из авторов теории и приложений BV-функций.
• Исследовательская группа по вариационному исчислению и геометрической теории меры, Scuola Normale Superiore di Pisa.

Эта статья включает материал из функции BV по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.