Подписанная мера - Signed measure

В математика, подписанная мера является обобщением концепции мера позволив ему иметь отрицательный значения. В теории мер знаковую меру иногда называют обвинять.^[1]

Определение

Есть две несколько разные концепции подписанной меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные настоящий значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Чтобы избежать путаницы, в этой статье эти два случая будут называться «конечные подписанные меры» и «расширенные подписанные меры».

Учитывая измеримое пространство (Икс, Σ) (т. Е. A набор Икс с сигма-алгебра Σ), расширенная подписанная мера это функция

${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$

такой, что ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ и ${\displaystyle \mu }$ является σ-аддитив - то есть удовлетворяет равенству

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

Серия справа должна сходятся абсолютно, для любого последовательность А₁, А₂, ..., А_п, ... из непересекающиеся множества в Σ, когда значение левой части конечно. Одним из следствий этого является то, что любая расширенная мера со знаком может принимать + ∞ как значение или -∞ как значение, но оба они недоступны. Выражение ∞ - ∞ не определено^[2] и этого следует избегать.

А конечная мера со знаком (a.k.a. реальная мера) определяется таким же образом, за исключением того, что он может принимать только реальные значения. То есть не может принимать + ∞ или −∞.

Конечные подписанные меры образуют реальную векторное пространство, а продленных подписанных мер нет, потому что они не закрываются на добавление. С другой стороны, меры - это расширенные подписанные меры, но, как правило, это не конечные подписанные меры.

Примеры

Рассмотрим неотрицательный мера ${\displaystyle \nu }$ на пространстве (Икс, Σ) и a измеримая функция ж: Икс → р такой, что

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Тогда конечная мера со знаком определяется выражением

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

для всех А в Σ.

Эта мера со знаком принимает только конечные значения. Чтобы позволить ему принимать + ∞ в качестве значения, необходимо заменить предположение о ж быть абсолютно совместимым с более расслабленным состоянием

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

куда ж⁻(Икс) = макс (-ж(Икс), 0) является отрицательная часть из ж.

Характеристики

Далее следуют два результата, из которых следует, что расширенная мера со знаком - это разность двух неотрицательных мер, а конечная мера со знаком - разность двух конечных неотрицательных мер.

В Теорема Хана о разложении утверждает, что для меры μ со знаком существуют два измеримых множества п и N такой, что:

1. п∪N = Икс и п∩N = ∅;
2. μ (E) ≥ 0 для каждого E в Σ такое, что E ⊆ п - другими словами, п это положительный набор;
3. μ (E) ≤ 0 для каждого E в Σ такое, что E ⊆ N - то есть, N - отрицательное множество.

Более того, это разложение единственное вплоть до добавление / вычитание μ-нулевые наборы из п и N.

Рассмотрим тогда две неотрицательные меры μ⁺ и μ⁻ определяется

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

и

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

для всех измеримых множеств E, то есть, E в Σ.

Можно проверить, что как μ⁺ и μ⁻ неотрицательные меры, одна из которых принимает только конечные значения, и называются положительная часть и отрицательная часть μ соответственно. Имеем μ = μ⁺ - μ⁻. Мера | μ | = μ⁺ + μ⁻ называется вариация μ, и его максимально возможное значение || μ || = | μ | (Икс), называется полное изменение из μ.

Это следствие теоремы о разложении Хана называется Разложение Жордана. Меры μ⁺, μ⁻ и | μ | не зависят от выбора п и N в теореме Хана о разложении.

использование

Мера задается площадь функции в регионах Декартова плоскость. В определенных случаях эта мера становится платной. Например, когда натуральный логарифм определяется площадью под кривой у = 1/Икс за Икс в положительные действительные числа, область с 0 < Икс<1 считается отрицательным.^[3]

Регион, определяемый непрерывная функция у = f (Икс), ось абсцисс и линии Икс = а и x = б можно оценить по Интеграция Римана. В этом случае оценка представляет собой заряд со знаком заряда, соответствующим знаку у.

При определении направленные гиперболические углы по площади гиперболического сектора линия у = Икс делит квадрант I на положительную и отрицательную области для меры со знаком.

Пространство подписанных мер

Сумма двух конечных мер со знаком является конечной мерой со знаком, как и произведение конечной меры со знаком на действительное число, т. Е. Они замкнуты относительно линейные комбинации. Отсюда следует, что множество конечных знаковых мер на измеримом пространстве (Икс, Σ) - действительная векторное пространство; это в отличие от позитивных мер, которые закрываются только в конические комбинации, и таким образом образуют выпуклый конус но не векторное пространство. Кроме того, полное изменение определяет норма относительно которого пространство конечных знаковых мер становится Банахово пространство. Это пространство имеет еще большую структуру, так как может быть показано как Дедекинд полный Банаховая решетка и при этом Теорема Радона – Никодима можно показать как частный случай Спектральная теорема Фрейденталя.

Если Икс компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных знаковых мер Бэра является двойственным вещественному банахову пространству всех непрерывный действительные функции на Икс, посредством Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани.

Смотрите также

• Комплексная мера
• Спектральная мера
• Векторная мера
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани
• Общая вариация

Примечания

1. Бхаскара Рао 1983
2. См. Статью "Расширенная строка действительных чисел " для дополнительной информации.
3. Логарифм, определенный как интеграл из Калифорнийский университет в Дэвисе

Рекомендации

• Бартл, Роберт Г. (1966), Элементы интеграции, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, Zbl  0146.28201
• Бхаскара Рао, К. П. С .; Бхаскара Рао, М. (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер, Чистая и прикладная математика, Лондон: Академическая пресса, ISBN  0-12-095780-9, Zbl  0516.28001
• Кон, Дональд Л. (1997) [1980], Теория меры, Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN  3-7643-3003-1, Zbl  0436.28001
• Diestel, J.E .; Уль, Дж. Дж. Младший (1977), Векторные меры, Математические обзоры и монографии, 15, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1515-6, Zbl  0369.46039
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1959), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 6, Нью-Йорк и Лондон: Издатели Interscience, стр. XIV + 858, ISBN  0-471-60848-3, Zbl  0084.10402
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 7, Нью-Йорк и Лондон: Издатели Interscience, стр. IX + 859–1923, ISBN  0-471-60847-5, Zbl  0128.34803
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1971), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы., Чистая и прикладная математика, 8, Нью-Йорк и Лондон: Издатели Interscience, стр. XIX + 1925–2592, ISBN  0-471-60846-7, Zbl  0243.47001
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса, Издательство Springer, ISBN  3-540-61989-5

---

В эту статью включены материалы из следующих PlanetMath статьи, которые находятся под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike: Знаковая мера, теорема Хана о разложении, разложение Жордана.