Топологическое тензорное произведение - Topological tensor product

В математика, обычно есть много разных способов построить топологическое тензорное произведение из двух топологические векторные пространства. За Гильбертовы пространства или же ядерные пространства есть простой хорошо воспитанный теория тензорные произведения (видеть Тензорное произведение гильбертовых пространств ), но для общих Банаховы пространства или же локально выпуклые топологические векторные пространства теория заведомо тонка.

Мотивация

Одна из оригинальных причин создания топологических тензорных произведений ${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$ заключается в том, что тензорные произведения пространств гладких функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не ведите себя должным образом. Есть укол

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

но это не изоморфизм. Например, функция ${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$ не может быть выражена как конечная линейная комбинация гладких функций в ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$^[1] Мы получаем изоморфизм только после построения топологического тензорного произведения; т.е.

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

Эта статья сначала детализирует конструкцию в случае банахова пространства. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ не является банаховым пространством, и дальнейшие случаи обсуждаются в конце.

Тензорные произведения гильбертовых пространств

Основная статья: Тензорное произведение гильбертовых пространств

Алгебраическое тензорное произведение двух гильбертовых пространств А и B имеет естественный положительно определенный полуторалинейная форма (скалярное произведение), индуцированные полуторалинейными формами А и B. Так, в частности, он имеет естественный положительно определенная квадратичная форма, а соответствующее пополнение - гильбертово пространство А ⊗ B, называемое (гильбертово пространство) тензорным произведением А и B.

Если векторы а_я и б_j пробежать ортонормированные базы из А и B, то векторы а_я⊗б_j образуют ортонормированный базис А ⊗ B.

Кросс-нормы и тензорные произведения банаховых пространств

Мы будем использовать обозначения из (Райан 2002 ) в этой секции. Очевидный способ определения тензорного произведения двух банаховых пространств А и B состоит в том, чтобы скопировать метод для гильбертовых пространств: определить норму на алгебраическом тензорном произведении, а затем взять пополнение по этой норме. Проблема в том, что существует более чем один естественный способ определить норму тензорного произведения.

Если А и B являются банаховыми пространствами алгебраическим тензорным произведением А и B означает тензорное произведение из А и B как векторные пространства и обозначается ${\displaystyle A\otimes B}$. Алгебраическое тензорное произведение ${\displaystyle A\otimes B}$ состоит из всех конечных сумм

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}}$

куда ${\displaystyle n}$ натуральное число, зависящее от ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a_{i}\in A}$ и ${\displaystyle b_{i}\in B}$ за${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.

Когда А и B банаховы пространства, a перекрестная норма п на алгебраическом тензорном произведении ${\displaystyle A\otimes B}$ - норма, удовлетворяющая условиям

${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$

${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$

Здесь а' и б'Находятся в топологические двойственные пространства из А и Bсоответственно и п' это двойная норма из п. Период, термин разумная перекрестная норма также используется для определения выше.

Есть перекрестная норма ${\displaystyle \pi }$ называется проективной перекрестной нормой, задаваемой

${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i}a_{i}\otimes b_{i}\right\}}$

куда ${\displaystyle x\in A\otimes B}$.

Оказывается, проективная перекрестная норма согласуется с наибольшей перекрестной нормой ((Райан 2002 ), предложение 2.1).

Есть перекрестная норма ${\displaystyle \varepsilon }$ называется инъективной перекрестной нормой, задаваемой

${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup\{|(a'\otimes b')(x)|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\}}$

куда ${\displaystyle x\in A\otimes B}$. Здесь А' и B′ Означают топологические двойники А и B, соответственно.

Обратите внимание, что инъективная перекрестная норма только в некотором разумном смысле является «наименьшей».

Пополнения алгебраического тензорного произведения в этих двух нормах называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$ и ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

Когда А и B являются гильбертовыми пространствами, норма, используемая для их тензорного произведения в гильбертовом пространстве, в общем случае не равна ни одной из этих норм. Некоторые авторы обозначают его как σ, поэтому тензорное произведение гильбертова пространства в предыдущем разделе будет ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

А равномерная кросснорма α - присвоение каждой паре ${\displaystyle (X,Y)}$ банаховых пространств разумной кросснормы на ${\displaystyle X\otimes Y}$ так что если ${\displaystyle X,W,Y,Z}$ - произвольные банаховы пространства, то для всех (линейных непрерывных) операторов ${\displaystyle S:X\to W}$ и ${\displaystyle T:Y\to Z}$ Оператор ${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$ непрерывно и ${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$ Если А и B являются двумя банаховыми пространствами и α - равномерная перекрестная норма, то α определяет разумную перекрестную норму на алгебраическом тензорном произведении ${\displaystyle A\otimes B.}$ Нормированное линейное пространство, полученное путем оснащения ${\displaystyle A\otimes B}$ с этой нормой обозначается ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$ Завершение ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$ которое является банаховым пространством, обозначается ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$ Значение нормы α на ${\displaystyle A\otimes B}$ и на завершенном тензорном произведении ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ для элемента Икс в ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ (или же ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$) обозначается ${\displaystyle \alpha _{A,B}(x)}$ или же ${\displaystyle \alpha (x).}$

Единая кросснорма ${\displaystyle \alpha }$ как говорят конечно порожденный если для каждой пары ${\displaystyle (X,Y)}$ банаховых пространств и каждого ${\displaystyle u\in X\otimes Y}$,

${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$

Единая кросснорма ${\displaystyle \alpha }$ является бесконечно генерируемый если для каждой пары ${\displaystyle (X,Y)}$ банаховых пространств и каждого ${\displaystyle u\in X\otimes Y}$,

${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$

А тензорная норма определяется как конечно порожденная равномерная кросснорма. Проективная перекрестная норма ${\displaystyle \pi }$ и инъективная перекрестная норма ${\displaystyle \varepsilon }$ определенные выше, являются тензорными нормами и называются проективной тензорной нормой и инъективной тензорной нормой соответственно.

Если А и B - произвольные банаховы пространства и α - произвольная равномерная поперечная норма, то

${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$

Тензорные произведения локально выпуклых топологических векторных пространств

Смотрите также: Инъективное тензорное произведение и Проективное тензорное произведение

Топологии локально выпуклых топологических векторных пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ даются семьями полунормы. Для каждого выбора полунормы на ${\displaystyle A}$ и дальше ${\displaystyle B}$ мы можем определить соответствующее семейство перекрестных норм на алгебраическом тензорном произведении ${\displaystyle A\otimes B,}$ и, выбирая одну перекрестную норму из каждой семьи, мы получаем несколько перекрестных норм на ${\displaystyle A\otimes B,}$ определение топологии. Вообще существует огромное количество способов сделать это. Два наиболее важных способа - это принять все проективные перекрестные нормы или все инъективные перекрестные нормы. Пополнения полученных топологий на ${\displaystyle A\otimes B}$ называются проективным и инъективным тензорными произведениями и обозначаются ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ и ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$ Есть естественная карта от ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ к ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

Если ${\displaystyle A}$ или же ${\displaystyle B}$ это ядерное пространство затем естественная карта из ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ к ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$ является изоморфизм. Грубо говоря, это означает, что если ${\displaystyle A}$ или же ${\displaystyle B}$ ядерно, то есть только одно разумное тензорное произведение ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$Это свойство характеризует ядерные пространства.

Смотрите также

• Банахово пространство - Полное нормированное векторное пространство
• Fréchet space - Локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством
• Ядро Фредгольма
• Гильбертово пространство - внутреннее пространство продукта метрически завершенное; банахово пространство, норма которого индуцирует скалярное произведение (норма удовлетворяет тождеству параллелограмма)
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Ядерное пространство - Тип топологического векторного пространства
• Проективное тензорное произведение
• Проективная топология
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - Пространство тензорного продукта наделено специальным внутренним продуктом
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

1. «Каков пример гладкой функции в C∞ (R2), не содержащейся в C∞ (R) ⊗C∞ (R)».

• Райан, Р.А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств, Нью-Йорк: Springer.
• Гротендик, А. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Мемуары Американского математического общества, 16.