Гипонепрерывная билинейная карта - Hypocontinuous bilinear map

В математике лицемерный это условие на билинейные карты топологических векторных пространств слабее непрерывности, но сильнее раздельной непрерывности. Многие важные билинейные отображения, которые не являются непрерывными, на самом деле являются гипонепрерывными.

Определение

Если ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ находятся топологические векторные пространства затем билинейная карта ${\displaystyle \beta :X\times Y\to Z}$ называется лицемерный если выполнены следующие два условия:

• для каждого ограниченное множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ набор линейных карт ${\displaystyle \{\beta (x,\cdot )\mid x\in A\}}$ является равностепенно непрерывным подмножеством ${\displaystyle Hom(Y,Z)}$, и
• для каждого ограниченное множество ${\displaystyle B\subseteq Y}$ набор линейных карт ${\displaystyle \{\beta (\cdot ,y)\mid y\in B\}}$ является равностепенно непрерывным подмножеством ${\displaystyle Hom(X,Z)}$.

Достаточные условия

Теорема:^[1] Позволять Икс и Y быть бочки и разреши Z быть локально выпуклый Космос. Тогда каждое отдельно непрерывное билинейное отображение ${\displaystyle X\times Y}$ в Z лицемерно.

Примеры

• Если Икс Хаусдорф локально выпуклый ствольное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$, то билинейное отображение ${\displaystyle X\times X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ определяется ${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }\left(x\right)}$ лицемерно.^[1]

Смотрите также

• билинейная карта

Рекомендации

1. Трев 2006, стр. 424-426.

Библиография

• Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства, Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13627-9
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.