Ядерные операторы между банаховыми пространствами - Nuclear operators between Banach spaces

В математика, а ядерный оператор это компактный оператор для чего след можно определить так, чтобы след был конечным и не зависел от выбора базиса (по крайней мере, в пространствах с хорошим поведением; есть некоторые пространства, на которых ядерные операторы не имеют следов). операторы класса трассировки, хотя большинство авторов резервируют термин «оператор следового класса» для частного случая ядерных операторов на Гильбертовы пространства.

Общее определение для Банаховы пространства был дан Гротендик. В этой статье представлены оба случая, но основное внимание уделяется общему случаю ядерных операторов в банаховых пространствах; для получения дополнительных сведений о важном частном случае ядерных (= класс следовых) операторов в гильбертовом пространстве см. статью Класс трассировки.

Компактный оператор

Оператор ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ на Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

является компактный если это можно записать в виде^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n},}$

где 1 ≤ N ≤ ∞, и ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{N}}$ и ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{N}}$ являются (не обязательно полными) ортонормированными множествами. Здесь ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{N}}$ представляют собой набор действительных чисел, сингулярные значения оператора, подчиняющегося ρ_п → 0, если N = ∞.

Кронштейн ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ - скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части должна сходиться по норме.

Оператор, компактный, как определено выше, называется ядерный или же класс трассировки если

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\rho _{n}|<\infty .}$

Характеристики

Ядерный оператор в гильбертовом пространстве обладает тем важным свойством, что след операция может быть определена. Учитывая ортонормированный базис ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$ для гильбертова пространства след определяется как

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\mathcal {L}}=\sum _{n}\langle \psi _{n},{\mathcal {L}}\psi _{n}\rangle .}$

Очевидно, сумма сходится абсолютно, и можно доказать, что результат не зависит от базиса^{[нужна цитата ]}. Можно показать, что этот след идентичен сумме собственных значений ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ (считается с кратностью).

О банаховых пространствах

Основная статья: Ядро Фредгольма

Определение оператора класса трассировки было расширено до Банаховы пространства к Александр Гротендик в 1955 г.

Позволять А и B - банаховы пространства, а А ' быть двойной из А, то есть совокупность всех непрерывный или (эквивалентно) ограниченные линейные функционалы на А с обычной нормой. Есть каноническая оценочная карта

${\displaystyle A'\otimes B\to \operatorname {Hom} (A,B)}$

(от проективное тензорное произведение из А ' и B в банахово пространство непрерывных линейных отображений из А к B). Определяется отправкой ${\displaystyle f\in A'}$ и б ∈ B к линейной карте ${\displaystyle a\mapsto f(a)\cdot b}$.Оператор ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in \operatorname {Hom} (A,B)}$ называется ядерный если он есть на изображении этой оценочной карты.^[1]

q-ядерные операторы

Оператор

${\displaystyle {\mathcal {L}}:A\to B}$

как говорят ядерный порядок q если существуют последовательности векторов ${\displaystyle \{g_{n}\}\in B}$ с ${\displaystyle \Vert g_{n}\Vert \leq 1}$, функционалы ${\displaystyle \{f_{n}^{*}\}\in A'}$ с ${\displaystyle \Vert f_{n}^{*}\Vert \leq 1}$ и сложные числа ${\displaystyle \{\rho _{n}\}}$ с

${\displaystyle \sum _{n}|\rho _{n}|^{q}<\infty ,}$

так что оператор может быть записан как

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}\rho _{n}f_{n}^{*}(\cdot )g_{n}}$

с суммой, сходящейся по операторной норме.

Ядерные операторы порядка 1 называются ядерные операторы: это те, для которых ряд ∑ρ_п абсолютно сходится. Ядерные операторы порядка 2 называются Операторы Гильберта – Шмидта.

Связь с операторами класса трассировки

С дополнительными шагами для таких операторов можно определить трассировку, когда А = B.

Обобщения

В более общем смысле оператор из локально выпуклое топологическое векторное пространство А в банахово пространство B называется ядерный если он удовлетворяет вышеуказанному условию со всеми ж_п^* ограничена единицей в некоторой фиксированной окрестности 0.

Распространение концепции ядерных карт на произвольные моноидальные категории дан кем-то Штольц и Тайхнер (2012). Моноидальную категорию можно рассматривать как категория снабженный подходящим понятием тензорного произведения. Примером моноидальной категории является категория банаховых пространств или, альтернативно, категория локально выпуклых полных хаусдорфовых пространств; оба снабжены проективным тензорным произведением. Карта ${\displaystyle f:A\to B}$ в моноидальной категории называется толстый если это можно записать как композицию

${\displaystyle A\cong I\otimes A{\stackrel {t\otimes \operatorname {id} _{A}}{\longrightarrow }}B\otimes C\otimes A{\stackrel {\operatorname {id} _{B}\otimes s}{\longrightarrow }}B\otimes I\cong B}$

для соответствующего объекта C и карты ${\displaystyle t:I\to B\otimes C,s:C\otimes A\to I}$, куда я - моноидальная единица.

В моноидальной категории банаховых пространств, снабженной проективным тензорным произведением, отображение является толстым тогда и только тогда, когда оно ядерно.^[2]

Примеры

• Предположим, что ${\displaystyle f:H_{1}\to H_{2}}$ и ${\displaystyle g:H_{2}\to H_{3}}$ находятся Операторы Гильберта-Шмидта между гильбертовыми пространствами. Тогда композиция ${\displaystyle g\circ f:H_{1}\to H_{2}}$ это ядерный оператор.^[3]

Рекомендации

1. Шефер и Вольф (1999), Глава III, §7)
2. Штольц и Тайхнер (2012), Теорема 4.26)
3. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 177.

• А. Гротендик (1955), Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires,Mem. Являюсь. Math.Soc. 16. МИСТЕР0075539
• А. Гротендик (1956), Теория Фредгольма, Бык. Soc. Математика. Франция, 84:319–384. МИСТЕР0088665
• А. Хинрихс и А. Пич (2010), п-ядерные операторы по Гротендику, Mathematische Nachrichen 283: 232–261. Дои:10.1002 / мана.200910128. МИСТЕР2604120
• Литвинов Г.Л. (2001) [1994], «Атомный оператор», Энциклопедия математики, EMS Press
• Schaefer, H.H .; Вольф, М. П. (1999), Топологические векторные пространства, Тексты для выпускников по математике, 3 (2-е изд.), Springer, Дои:10.1007/978-1-4612-1468-7, ISBN  0-387-98726-6
• Штольц, Стефан; Тайхнер, Питер (2012), «Следы в моноидальных категориях», Труды Американского математического общества, 364 (8): 4425–4464, arXiv:1010.4527, Дои:10.1090 / S0002-9947-2012-05615-7, МИСТЕР  2912459