Ядро Фредгольма - Fredholm kernel

Основная статья: Теория Фредгольма

В математика, а Ядро Фредгольма это определенный тип ядро на Банахово пространство, связана с ядерные операторы на банаховом пространстве. Они представляют собой абстракцию идеи Интегральное уравнение Фредгольма и Фредгольмов оператор, и являются одним из объектов исследования в Теория Фредгольма. Ядра Фредгольма названы в честь Эрик Ивар Фредхольм. Большая часть абстрактной теории ядер Фредгольма была разработана Александр Гротендик и опубликовано в 1955 году.

Определение

Позволять B быть произвольным Банахово пространство, и разреши B^* быть его двойственным, т. е. пространством ограниченные линейные функционалы на B. В тензорное произведение ${\displaystyle B^{*}\otimes B}$ имеет завершение под нормой

${\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }$

где инфимум берется по всем конечным представлениям

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

Завершение по этой норме часто обозначается как

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$

и называется проективное топологическое тензорное произведение. Элементы этого пространства называются Ядра Фредгольма.

Характеристики

Каждое ядро ​​Фредгольма имеет представление в виде

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}$

с ${\displaystyle e_{i}\in B}$ и ${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$ такой, что ${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$ и

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,}$

С каждым таким ядром связан линейный оператор

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}$

который имеет каноническое представление

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,}$

С каждым ядром Фредгольма связан след, определяемый как

${\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,}$

п-самоходные ядра

Ядро Фредгольма называется п-плавный если

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty }$

Говорят, что ядро ​​Фредгольма имеет заказ q если q это инфимум из всех ${\displaystyle 0<p\leq 1}$

для всех п для чего это п-суммируемый.

Ядерные операторы в банаховых пространствах

Оператор L : B→B считается ядерный оператор если существует Икс ∈ ${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$ такой, что L = L_Икс. Такой оператор называется п-суммируемые и по порядку q если Икс является. В общем, может быть более одного Икс связан с таким ядерным оператором, поэтому след не определен однозначно. Однако если заказ q ≤ 2/3, то существует единственный след, как это дает теорема Гротендика.

Теорема Гротендика

Если ${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$ оператор порядка ${\displaystyle q\leq 2/3}$ тогда след может быть определен с помощью

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}$

куда ${\displaystyle \rho _{i}}$ являются собственные значения из ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Кроме того, Определитель Фредгольма

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}$

является вся функция из z. Формула

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}$

также держится. Наконец, если ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ параметризуется некоторыми сложный -значный параметр ш, то есть, ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$, а параметризация голоморфный в каком-то домене, то

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)}$

голоморфна в той же области.

Примеры

Важным примером является банахово пространство голоморфных функций над областью ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{k}}$. В этом пространстве каждый ядерный оператор имеет нулевой порядок и, следовательно, имеет класс трассировки.

Ядерные пространства

Идея ядерного оператора может быть адаптирована к Пространства фреше. А ядерное пространство является пространством Фреше, в котором всякое ограниченное отображение пространства в произвольное банахово пространство ядерно.

Рекомендации

• Гротендик А (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Амер. Математика. Soc. 16.
• Гротендик А (1956). "Теория Фредхольма". Бык. Soc. Математика. Франция. 84: 319–84.
• Б.В. Хведелидзе, Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядро Фредгольма», Энциклопедия математики, EMS Press
• Fréchet M (ноябрь 1932 г.). «О поведении n-го итерации ядра Фредгольма, когда n становится бесконечным». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 18 (11): 671–3. Дои:10.1073 / pnas.18.11.671. ЧВК  1076308. PMID  16577494.