Определитель Фредгольма - Fredholm determinant

В математика, то Определитель Фредгольма это комплексная функция который обобщает детерминант конечномерного линейный оператор. Он определен для ограниченные операторы на Гильбертово пространство которые отличаются от оператор идентификации по оператор класса трассировки. Функция названа в честь математик Эрик Ивар Фредхольм.

Детерминанты Фредгольма нашли множество применений в математическая физика, самым известным примером является Габор Сегу формула предела^{[уточнить ]}, доказано в ответ на вопрос, заданный Ларс Онсагер и К. Н. Ян на спонтанное намагничивание из Модель Изинга.

Определение

Позволять ЧАС быть Гильбертово пространство и грамм набор ограниченные обратимые операторы на ЧАС формы я + Т, куда Т это оператор класса трассировки. грамм это группа потому что

${\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},}$

так (I + T)⁻¹-Я класс трассировки, если Т является. Имеет естественный метрика данный d(Икс, Y) = ||Икс - Y||₁, где || · ||₁ - норма следового класса.

Если ЧАС гильбертово пространство с внутренний продукт ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$, тогда тоже kth внешняя сила ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ с внутренним продуктом

${\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})={\rm {det}}\,(v_{i},w_{j}).}$

Особенно

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}$

дает ортонормированный базис из ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ если (е_я) является ортонормированным базисом ЧАС. Если А является ограниченным оператором на ЧАС, тогда А функционально определяет ограниченный оператор ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$на ${\displaystyle \Lambda ^{k}H}$ к

${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$

Если А класс трассировки, то ${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$ также класс трассировки с

${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$

Это показывает, что определение Определитель Фредгольма данный

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

имеет смысл.

Характеристики

• Если А является оператором класса трассировки.

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

определяет вся функция такой, что

${\displaystyle |{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$

• Функция det (я + А) непрерывна на операторах класса трассировки, причем

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$

Можно немного улучшить это неравенство до следующего, как отмечено в главе 5 Саймона:

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$

• Если А и B являются трассировочными, тогда

${\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B).}$

• Функция Det определяет гомоморфизм из грамм в мультипликативную группу C* ненулевых комплексных чисел (поскольку элементы грамм обратимы).
• Если Т в грамм и Икс обратима,

${\displaystyle {\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T.}$

• Если А класс трассировки, то

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A).}$

${\displaystyle \log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}}$

Определители Фредгольма коммутаторов

Функция F(т) из (а, б) в грамм как говорят дифференцируемый если F(т) -I дифференцируема как отображение в операторы класса трассировки, т. Е. Если предел

${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$

существует в норме следового класса.

Если грамм(т) является дифференцируемой функцией со значениями в операторах класса трассировки, то также и exp грамм(т) и

${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$

куда

${\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX.}$

Исраэль Гохберг и Марк Крейн доказал, что если F дифференцируемая функция в грамм, тогда ж = det F дифференцируемое отображение вC* с

${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}.}$

Этот результат использовали Джоэл Пинкус, Уильям Хелтон и Роджер Хоу доказать, что если А и B - ограниченные операторы с коммутатором следовых классовAB -BA, тогда

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA).}$

Формула предела Сегё

Смотрите также: Предельные теоремы Сегё

Позволять ЧАС = L² (S¹) и разреши п быть ортогональная проекция на Харди космос ЧАС² (S¹).

Если ж это гладкая функция по кругу пусть м(ж) обозначают соответствующий оператор умножения на ЧАС.

Коммутатор

пм(ж) - м(ж)П

класс трассировки.

Позволять Т(ж) быть Оператор Теплица на ЧАС² (S¹) определяется

${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$

то аддитивный коммутатор

${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$

класс трассировки, если ж и грамм гладкие.

Бергер и Шоу доказали, что

${\displaystyle {\rm {tr}}(T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }fdg.}$

Если ж и грамм гладкие, то

${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$

в грамм.

Гарольд Уидом использовал результат Пинкуса-Хелтона-Хау, чтобы доказать, что

${\displaystyle {\rm {det}}\,T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$

куда

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$

Он использовал это, чтобы дать новое доказательство Габор Сегу Знаменитая формула предела:

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\rm {det}}P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$

куда п_N проекция на подпространство ЧАС охватывает 1, z, ..., z^N и а₀ = 0.

Формула предела Сегё была доказана в 1951 году в ответ на вопрос, поставленный в работе Ларс Онсагер и К. Н. Ян по расчету спонтанное намагничивание для Модель Изинга. Формула Видома, которая довольно быстро приводит к формуле предела Сегё, также эквивалентна двойственности между бозоны и фермионы в конформная теория поля. Особый вариант предельной формулы Сегё для функций с носителем на дуге окружности доказал Видом; он был применен для установления вероятностных результатов по распределению собственных значений случайные унитарные матрицы.

Неформальное представление для случая интегральных операторов

В следующем разделе дается неформальное определение определителя Фредгольма ЭТО когда оператор класса трассировки Т является интегральный оператор дается ядром К (х, х) . Правильное определение требует представления, показывающего, что каждое из манипуляций является четко определенным, сходящимся и т. Д. Для данной ситуации, для которой рассматривается детерминант Фредгольма. Поскольку ядро K можно определить для большого разнообразия Гильбертовы пространства и Банаховы пространства, это нетривиальное упражнение.

Определитель Фредгольма можно определить как

${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$

куда K является интегральный оператор. След оператора Т а его переменные мощности даны в терминах ядра K к

${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\,dxdy}$

и вообще

${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}}$.

След для этих ядер определен корректно, поскольку они класс трассировки или же ядерные операторы.

Приложения

Определитель Фредгольма использовал физик Джон А. Уиллер (1937, Phys. Rev. 52: 1107), чтобы помочь дать математическое описание волновой функции составного ядра, состоящего из антисимметричной комбинации парциальных волновых функций, методом резонансной групповой структуры. Этот метод соответствует различным возможным способам распределения энергии нейтронов и протонов по фундаментальным бозонным и фермионным группам кластеров нуклонов или строительным блокам, таким как альфа-частица, гелий-3, дейтерий, тритон, динейтрон и т.д. В методе резонансной групповой структуры для бета- и альфа-стабильных изотопов используется определитель Фредгольма: (1) определяет значения энергии составной системы и (2) определяет сечения рассеяния и распада. Метод резонансной групповой структуры Уиллера обеспечивает теоретические основы для всех последующих моделей кластеров нуклонов и связанной с ними динамики энергии кластеров для всех изотопов легких и тяжелых масс (см. Обзор кластерных моделей в физике в N.D. Cook, 2006).

Рекомендации

• Саймон, Барри (2005), Идеалы трассировки и их приложения, Математические обзоры и монографии, 120, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3581-5
• Уилер, Джон А. (1937-12-01). «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 52 (11): 1107–1122. Дои:10.1103 / Physrev.52.1107. ISSN  0031-899X.
• Борнеманн, Фолькмар (2010), "О численной оценке детерминантов Фредгольма", Математика. Комп., Спрингер, 79: 871–915, arXiv:0804.2543, Дои:10.1090 / s0025-5718-09-02280-7