Строго сингулярный оператор - Strictly singular operator

В функциональный анализ, филиал математика, а строго сингулярный оператор это ограниченный линейный оператор между нормированными пространствами, который не ограничен снизу ни на каком бесконечномерном подпространстве.

Определения.

Позволять Икс и Y быть нормированные линейные пространства, и обозначим через B (X, Y) пространство ограниченные операторы формы ${\displaystyle T:X\to Y}$. Позволять ${\displaystyle A\subseteq X}$ быть любым подмножеством. Мы говорим что Т является ограниченный снизу на ${\displaystyle A}$ всякий раз, когда есть постоянная ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ такой, что для всех ${\displaystyle x\in A}$, неравенство ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}$ держит. Если А = Хмы просто говорим, что Т является ограниченный снизу.

Теперь предположим Икс и Y являются банаховыми пространствами, и пусть ${\displaystyle Id_{X}\in B(X)}$ и ${\displaystyle Id_{Y}\in B(Y)}$ обозначают соответствующие тождественные операторы. Оператор ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ называется несущественный в любое время ${\displaystyle Id_{X}-ST}$ это Фредгольмов оператор для каждого ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$. Эквивалентно, Т несущественно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Id_{Y}-TS}$ Фредгольм для каждого ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$ набор всех несущественных операторов в ${\displaystyle B(X,Y)}$.

Оператор ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ называется строго единичный когда он не может быть ограничен снизу ни на каком бесконечномерном подпространстве Икс. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ множество всех строго сингулярных операторов в ${\displaystyle B(X,Y)}$. Мы говорим что ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ является конечно строго особый всякий раз для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$ Существует ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ такое, что для каждого подпространства E из Икс удовлетворение ${\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}$, есть ${\displaystyle x\in E}$ такой, что ${\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}$. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ множество всех конечно строго сингулярных операторов в ${\displaystyle B(X,Y)}$.

Позволять ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ обозначим замкнутый единичный шар в Икс. Оператор ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ является компактный в любое время ${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$ является относительно компактным по норме подмножеством Y, и обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ множество всех таких компактных операторов.

Характеристики.

Строго сингулярные операторы можно рассматривать как обобщение компактные операторы, так как всякий компактный оператор строго сингулярен. У этих двух классов есть общие важные свойства. Например, если Икс это Банахово пространство и Т - строго сингулярный оператор в В (Х) тогда это спектр ${\displaystyle \sigma (T)}$ удовлетворяет следующим свойствам: (i) мощность из ${\displaystyle \sigma (T)}$ не более чем счетно; (ii) ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$ (кроме, возможно, тривиального случая, когда Икс конечномерно); (iii) ноль - единственно возможный предельная точка из ${\displaystyle \sigma (T)}$; и (iv) любое ненулевое ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ - собственное значение. Эта же «спектральная теорема», состоящая из (i) - (iv), выполняется для несущественных операторов в В (Х).

Классы ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ все формы закрыты по нормам операторские идеалы. Это означает, что когда Икс и Y являются банаховыми пространствами, компонентные пространства ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$, ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$, ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$, и ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$ каждое замкнутое подпространство (в операторной норме) B (X, Y), такие, что классы инвариантны относительно композиции с произвольными ограниченными линейными операторами.

В общем, у нас есть ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$, и каждое из включений может быть или не быть строгим, в зависимости от выбора Икс и Y.

Примеры.

Всякая ограниченная линейная карта ${\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}$, за ${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$, ${\displaystyle p\neq q}$, строго сингулярно. Здесь, ${\displaystyle \ell _{p}}$ и ${\displaystyle \ell _{q}}$ находятся пробелы последовательности. Аналогично, всякая ограниченная линейная карта ${\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$ и ${\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}$, за ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, строго сингулярно. Здесь ${\displaystyle c_{0}}$ - банахово пространство последовательностей, сходящихся к нулю. Это следствие теоремы Питта, которая утверждает, что такие Т, за q < п, компактны.

Если ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty }$ тогда оператор формального тождества ${\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}$ конечно строго сингулярно, но не компактно. Если ${\displaystyle 1<p<q<\infty }$

то существуют «операторы Пельчинского» в ${\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}$ которые равномерно ограничены снизу на экземплярах ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, а значит, строго особые, но не конечно строго особые. В этом случае мы имеем ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$. Однако каждый несущественный оператор с codomain ${\displaystyle \ell _{q}}$ строго сингулярно, так что ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$. С другой стороны, если Икс - любое сепарабельное банахово пространство, то существует ограниченный снизу оператор ${\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$ любой из которых является несущественным, но не строго единичным. Так, в частности, ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$ для всех ${\displaystyle 1<p<\infty }$.

Двойственность.

Компактные операторы образуют симметричный идеал, что значит ${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$ если и только если ${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$. Однако это не относится к классам. ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$, или же ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Чтобы установить отношения двойственности, мы введем дополнительные классы.

Если Z замкнутое подпространство банахова пространства Y тогда существует "канонический" сюрприз ${\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}$ определяется через естественное отображение ${\displaystyle y\mapsto y+Z}$. Оператор ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ называется строго собственный всякий раз, когда дано бесконечномерное замкнутое подпространство Z из Y, карта ${\displaystyle Q_{Z}T}$ не может быть сюръективным. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}$ подпространство строго сингулярных операторов в B (X, Y).

Теорема 1. Позволять Икс и Y - банаховы пространства, и пусть ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$. Если Т * строго сингулярно (соответственно, строго сингулярно), то Т строго сингулярно (соответственно, строго сингулярно).

Отметим, что существуют примеры строго сингулярных операторов, сопряженные к которым не являются ни строго сингулярными, ни строго копособенными (см. Пличко, 2004). Точно так же существуют строго сингулярные операторы, сопряженные к которым не являются строго сингулярными, например карта включения ${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$. Так ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ не в полной двойственности с ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$.

Теорема 2. Позволять Икс и Y - банаховы пространства, и пусть ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$. Если Т * несущественно, то так Т.

Рекомендации

Айена, Пьетро, Фредгольм и локальная спектральная теория с приложениями к множителям (2004), ISBN  1-4020-1830-4.

Пличко, Анатолий, "Сверхстрого сингулярные и сверхстрого косингулярные операторы". Математические исследования Северной Голландии 197 (2004), стр. 239-255.