Теорема Монтельса - Montels theorem

В комплексный анализ, площадь математика, Теорема Монтеля относится к одному из двух теоремы о семьях голоморфные функции. Они названы в честь французского математика. Поль Монтель, и дадим условия, при которых семейство голоморфных функций нормальный.

Локально равномерно ограниченные семейства нормальны

Первая и более простая версия теоремы утверждает, что семейство голоморфных функций, определенных на открыто подмножество из сложные числа является нормальный тогда и только тогда, когда он локально равномерно ограничен.

Эта теорема имеет следующее формально более сильное следствие. Предположим, что${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ - семейство мероморфных функций на открытом множестве ${\displaystyle D}$. Если ${\displaystyle z_{0}\in D}$ таково, что${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это не нормально в ${\displaystyle z_{0}}$, и ${\displaystyle U\subset D}$ это район ${\displaystyle z_{0}}$, тогда ${\displaystyle \bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}f(U)}$ плотно на комплексной плоскости.

Функции без двух значений

Более сильная версия теоремы Монтеля (иногда называемая Тест фундаментальной нормальности ) утверждает, что семейство голоморфных функций, все из которых опускают одни и те же два значения ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,}$ это нормально.

Необходимость

Условия в приведенных выше теоремах достаточны, но не необходимы для нормальности. Действительно, семья ${\displaystyle \{z\mapsto z\}}$ нормально, но не пропускает никаких сложных значений.

Доказательства

Первая версия теоремы Монтеля является прямым следствием Теорема Марти (что означает, что семейство является нормальным тогда и только тогда, когда сферические производные локально ограничены) и Интегральная формула Коши.^[1]

Эта теорема также была названа теоремой Стилтьеса – Осгуда после Томас Джоаннес Стилтьес и Уильям Фогг Осгуд.^[2]

Сформулированное выше следствие выводится следующим образом. Предположим, что все функции в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ опустить ту же окрестность точки ${\displaystyle z_{1}}$. Путем посткомпозиции с картой ${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}}$ получаем равномерно ограниченное семейство, нормальное по первому варианту теоремы.

Вторую версию теоремы Монтеля можно вывести из первой, используя тот факт, что существует голоморфная универсальное покрытие от единичного диска до дважды проколотой плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{a,b\}}$. (Такое покрытие дается эллиптическая модульная функция ).

Эта версия теоремы Монтеля также может быть получена из Теорема Пикарда,используя Лемма Зальцмана.

Связь с теоремами для целых функций

Эвристический принцип, известный как Принцип Блоха (уточнено Лемма Зальцмана ) утверждает, что свойства, которые подразумевают постоянство целой функции, соответствуют свойствам, которые гарантируют, что семейство голоморфных функций является нормальным.

Например, первая версия сформулированной выше теоремы Монтеля является аналогом Теорема Лиувилля, а второй вариант соответствует Теорема Пикарда.

Смотрите также

• Montel space
• Фундаментальный тест на нормальность

Примечания

1. Хартье Криете (1998). Прогресс в голоморфной динамике. CRC Press. п. 164. Получено 2009-03-01.
2. Райнхольд Реммерт, Лесли Кей (1998). Классические темы теории сложных функций. Springer. п. 154. Получено 2009-03-01.

Рекомендации

• Джон Б. Конвей (1978). Функции одной комплексной переменной I. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90328-3.
• «Теорема Монтеля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Дж. Л. Шифф (1993). Нормальные семьи. Springer-Verlag. ISBN  0-387-97967-0.

В этой статье использован материал из теоремы Монтеля о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.