Единая норма - Uniform norm

Эта статья о норме функционального пространства. Для расстояния в конечномерном векторном пространстве см. Чебышевская дистанция. О норме однородности в аддитивной комбинаторике см. Норма Гауэрса.

Периметр квадрата - это множество точек в р² где sup norm равна фиксированной положительной константе.

В математический анализ, то единая норма (или же sup norm) присваивается настоящий- или же сложный -значен ограниченные функции ж определено на набор S неотрицательное число

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in S\,\right\}.}$

Этот норма также называется supremum norm, то Чебышевская норма, то бесконечная норма, или, когда супремум на самом деле является максимумом, максимальная норма. Название «единая норма» происходит от того факта, что последовательность функций ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ под метрика выводится из равномерной нормы тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ равномерно.^[1]

Метрика, порожденная этой нормой, называется метрикой Метрика Чебышева, после Пафнутый Чебышев, который первым начал ее систематически изучать.

Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемая расширенная метрика все еще позволяет определять топологию на рассматриваемом функциональном пространстве.

Если ж это непрерывная функция на закрытый интервал, или в более общем смысле компактный множество, то оно ограничено и супремум в приведенном выше определении достигается методом Вейерштрасса теорема об экстремальном значении, поэтому мы можем заменить супремум на максимум. В этом случае норму также называют максимальная нормаВ частности, для случая вектора ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ в конечный размерный координатное пространство, он принимает вид

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.}$

Причина появления индекса «∞» в том, что всякий раз, когда ж непрерывно

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$

куда

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$

куда D это область ж (а интеграл равен сумме, если D это дискретный набор ).

Бинарная функция

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$

тогда является метрикой на пространстве всех ограниченных функций (и, очевидно, любого из его подмножеств) в определенной области. Последовательность { ж_п : п = 1, 2, 3, ... } сходится равномерно к функции ж если и только если

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0.\,}$

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; замкнутые множества в равномерной норме иногда называют равномерно закрытый и закрытия униформа закрытия. Равномерное замыкание набора функций A - это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на A. Например, одно повторение Теорема Стоуна – Вейерштрасса состоит в том, что множество всех непрерывных функций на ${\displaystyle [a,b]}$ - равномерное замыкание множества многочленов на ${\displaystyle [a,b]}$.

Для сложных непрерывный функции над компактным пространством, это превращает его в C * алгебра.

Смотрите также

• Единая непрерывность
• Единое пространство
• Чебышевская дистанция

Рекомендации

1. Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. стр.151. ISBN  0-07-054235-X.