Теорема об экстремальном значении - Extreme value theorem

Эта статья посвящена концепции исчисления. Для статистической концепции см. Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко..

Непрерывная функция ${\displaystyle f(x)}$ на закрытом интервале ${\displaystyle [a,b]}$ показывает абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий).

В исчисление, то теорема об экстремальном значении заявляет, что если реальный функция ${\displaystyle f}$ является непрерывный на закрыто интервал ${\displaystyle [a,b]}$, тогда ${\displaystyle f}$ должен достичь максимум и минимум, каждый хотя бы один раз. То есть есть числа ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ в ${\displaystyle [a,b]}$ такой, что:

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]}$

Связанная теорема теорема об ограниченности который утверждает, что непрерывная функция ж в закрытом интервале [а,б] является ограниченный на этом интервале. То есть существуют реальные числа м и M такой, что:

${\displaystyle m<f(x)<M\quad \forall x\in [a,b]}$

Теорема об экстремальном значении обогащает теорему об ограниченности, говоря, что функция не только ограничена, но также достигает своей наименьшей верхней границы как своего максимума и своей точной нижней границы как своего минимума.

Теорема об экстремальном значении используется для доказательства Теорема Ролля. В составе из-за Карл Вейерштрасс, эта теорема утверждает, что непрерывная функция из непустого компактное пространство к подмножество из действительные числа достигает максимума и минимума.

История

Теорема об экстремальном значении была первоначально доказана Бернар Больцано в 1830-х годах в произведении Теория функций но работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на отрезке ограничена, а затем показать, что функция достигает максимального и минимального значений. Оба доказательства касались того, что сегодня известно как Теорема Больцано – Вейерштрасса.^[1] Результат был также обнаружен позже Вейерштрассом в 1860 году.^{[нужна цитата ]}

Функции, к которым теорема не применяется

Следующие примеры показывают, почему функциональная область должна быть замкнутой и ограниченной, чтобы теорема применялась. Каждому не удается достичь максимума на заданном интервале.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$ определяется по ${\displaystyle [0,\infty )}$ не ограничено сверху.
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$ определяется по ${\displaystyle [0,\infty )}$ ограничен, но не достигает своей точной верхней границы ${\displaystyle 1}$.
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ определяется по ${\displaystyle (0,1]}$ не ограничено сверху.
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$ определяется по ${\displaystyle (0,1]}$ ограничен, но никогда не достигает своей точной верхней границы ${\displaystyle 1}$.

Определение ${\displaystyle f(0)=0}$ в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на ${\displaystyle [a,b]}$.

Обобщение на метрические и топологические пространства.

При переходе с реальной линии ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к метрические пространства и вообще топологические пространства, подходящим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компактный набор. Множество ${\displaystyle K}$ называется компактным, если он обладает следующим свойством: из каждого набора открытые наборы ${\displaystyle U_{\alpha }}$ такой, что ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$, конечная подгруппа ${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}$можно выбрать так, чтобы ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$. Обычно это кратко обозначается как "каждая открытая обложка ${\displaystyle K}$ имеет конечное подпокрытие ". Теорема Гейне – Бореля утверждает, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство имеет Свойство Гейне-Бореля если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно.

Аналогичным образом можно обобщить понятие непрерывной функции. Данные топологические пространства ${\displaystyle V,\ W}$, функция ${\displaystyle f:V\to W}$ называется непрерывным, если для каждого открытого множества ${\displaystyle U\subset W}$, ${\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}$ также открыт. Учитывая эти определения, можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность:^[2]

Теорема. Если ${\displaystyle V,\ W}$ топологические пространства, ${\displaystyle f:V\to W}$ - непрерывная функция, а ${\displaystyle K\subset V}$ компактно, то ${\displaystyle f(K)\subset W}$ также компактный.

В частности, если ${\displaystyle W=\mathbb {R} }$, то из этой теоремы следует, что ${\displaystyle f(K)}$ замкнуто и ограничено для любого компакта ${\displaystyle K}$, что, в свою очередь, означает, что ${\displaystyle f}$ достигает своего супремум и инфимум на любом (непустом) компакте ${\displaystyle K}$. Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы об экстремальном значении:^[2]

Теорема. Если ${\displaystyle K}$ компактное множество и ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ - непрерывная функция, то ${\displaystyle f}$ ограничен и существуют ${\displaystyle p,q\in K}$ такой, что ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ и ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$.

В более общем смысле это также верно для полунепрерывной сверху функции. (видеть компактное пространство # Функции и компактные пространства ).

Доказательство теорем

Мы смотрим на доказательство верхняя граница и максимум ж. Применяя эти результаты к функции -ж, существование нижней границы и результат для минимума ж следует. Также обратите внимание, что все в доказательстве сделано в контексте действительные числа.

Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы об экстремальном значении. Основные шаги, необходимые для доказательства теоремы об экстремальном значении:

1. Докажите теорему об ограниченности.
2. Найдите последовательность так, чтобы ее изображение сходится к супремум из ж.
3. Показать, что существует подпоследовательность который сходится к точке в домен.
4. Используйте непрерывность, чтобы показать, что образ подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности

Заявление Если ${\displaystyle f(x)}$ продолжается на ${\displaystyle [a,b]}$ тогда он ограничен ${\displaystyle [a,b]}$

Предположим, что функция ${\displaystyle f}$ не ограничена сверху на интервале ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$, существует ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ такой, что ${\displaystyle f(x_{n})>n}$. Это определяет последовательность ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Потому что ${\displaystyle [a,b]}$ ограничен, Теорема Больцано – Вейерштрасса следует, что существует сходящаяся подпоследовательность ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ из ${\displaystyle ({x_{n}})}$. Обозначим его предел через ${\displaystyle x}$. В качестве ${\displaystyle [a,b]}$ закрыт, он содержит ${\displaystyle x}$. Потому что ${\displaystyle f}$ непрерывно на ${\displaystyle x}$, мы знаем это ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ сходится к действительному числу ${\displaystyle f(x)}$ (в качестве ${\displaystyle f}$ является последовательно непрерывный в ${\displaystyle x}$). Но ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$ для каждого ${\displaystyle k}$, откуда следует, что ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ расходится на ${\displaystyle +\infty }$, противоречие. Следовательно, ${\displaystyle f}$ ограничена сверху на ${\displaystyle [a,b]}$. ${\displaystyle \Box }$

Альтернативное доказательство

Заявление Если ${\displaystyle f(x)}$ продолжается на ${\displaystyle [a,b]}$ тогда он ограничен ${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство Рассмотрим множество ${\displaystyle B}$ очков ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,b]}$ такой, что ${\displaystyle f(x)}$ ограничен ${\displaystyle [a,x]}$. Отметим, что ${\displaystyle a}$ это одна из таких точек для ${\displaystyle f(x)}$ ограничен ${\displaystyle [a,a]}$ по значению ${\displaystyle f(a)}$. Если ${\displaystyle e>a}$ это еще одна точка, тогда все точки между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle e}$ также принадлежат ${\displaystyle B}$. Другими словами ${\displaystyle B}$ интервал, закрытый на левом конце на ${\displaystyle a}$.

Сейчас же ${\displaystyle f}$ непрерывна справа в ${\displaystyle a}$, следовательно, существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$. Таким образом ${\displaystyle f}$ ограничен ${\displaystyle f(a)-1}$ и ${\displaystyle f(a)+1}$ на интервале ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ так что все эти точки принадлежат ${\displaystyle B}$.

Пока мы знаем, что ${\displaystyle B}$ интервал ненулевой длины, замкнутый на левом конце ${\displaystyle a}$.

Следующий, ${\displaystyle B}$ ограничен сверху ${\displaystyle b}$. Следовательно, множество ${\displaystyle B}$ имеет супремум в ${\displaystyle [a,b]}$ ; позвольте нам называть это ${\displaystyle s}$. От ненулевой длины ${\displaystyle B}$ мы можем сделать вывод, что ${\displaystyle s>a}$.

Предполагать ${\displaystyle s<b}$. Сейчас же ${\displaystyle f}$ непрерывно на ${\displaystyle s}$, следовательно, существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ так что ${\displaystyle f}$ ограничена на этом интервале. Но это следует из превосходства ${\displaystyle s}$ что существует точка, принадлежащая ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle e}$ скажем, что больше, чем ${\displaystyle s-\delta /2}$. Таким образом ${\displaystyle f}$ ограничен ${\displaystyle [a,e]}$ который перекрывает ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ так что ${\displaystyle f}$ ограничен ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$. Однако это противоречит верховенству ${\displaystyle s}$.

Поэтому мы должны иметь ${\displaystyle s=b}$. Сейчас же ${\displaystyle f}$ непрерывна слева в ${\displaystyle s}$, следовательно, существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ так что ${\displaystyle f}$ ограничена на этом интервале. Но это следует из превосходства ${\displaystyle s}$ что существует точка, принадлежащая ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle e}$ скажем, что больше, чем ${\displaystyle s-\delta /2}$. Таким образом ${\displaystyle f}$ ограничен ${\displaystyle [a,e]}$ который перекрывает ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ так что ${\displaystyle f}$ ограничен ${\displaystyle [a,s]}$.  ∎

Доказательство теоремы об экстремальном значении

По теореме об ограниченности ж ограничена сверху, следовательно, Дедекиндовая полнота действительных чисел, точная верхняя грань (супремум) M из ж существуют. Надо найти точку d в [а,б] такой, что M = ж(d). Позволять п быть натуральным числом. В качестве M это наименее верхняя граница, M – 1/п не является верхней границей для ж. Следовательно, существует d_п в [а,б] так что M – 1/п < ж(d_п). Это определяет последовательность {d_п}. С M это верхняя граница для ж, у нас есть M – 1/п < ж(d_п) ≤ M для всех п. Следовательно, последовательность {ж(d_п)} сходится к M.

В Теорема Больцано – Вейерштрасса сообщает нам, что существует подпоследовательность {${\displaystyle d_{n_{k}}}$}, который сходится к некоторому d и, как [а,б] закрыто, d в [а,б]. С ж непрерывно на d, последовательность {ж(${\displaystyle d_{n_{k}}}$)} сходится к ж(d). Но {ж(d_пk)} является подпоследовательностью {ж(d_п)}, который сходится к M, так M = ж(d). Следовательно, ж достигает своего превосходства M в d. ∎

Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении

Набор {у ∈ р : у = f (Икс) для некоторых Икс ∈ [а,б]} - ограниченное множество. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует свойство наименьшей верхней границы реальных чисел. Позволять M = sup (ж(Икс)) на [а, б]. Если нет смысла Икс на [а, б] так что ж(Икс) = M тогдаж(Икс) < M на [а, б]. Следовательно, 1 / (M − ж(Икс)) непрерывна на [а, б].

Однако каждому положительному числу ε, всегда есть Икс в [а, б] такой, что M − ж(Икс) < ε потому что M - точная верхняя граница. Следовательно, 1 / (M − ж(Икс)) > 1/ε, что означает, что 1 / (M − ж(Икс)) не ограничен. Поскольку любая непрерывная функция на [а, б] ограничен, это противоречит заключению, что 1 / (M − ж(Икс)) был непрерывен на [а, б]. Следовательно, должна быть точка Икс в [а, б] такой, что ж(Икс) = M. ∎

Доказательство с использованием гиперреалов

В обстановке нестандартное исчисление, позволять N быть бесконечным гиперинтегральный. Интервал [0, 1] имеет естественное гиперреальное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подынтервалы равных бесконечно малый длина 1 /N, с точками разбиения Икс_я = я /N в качестве я "бежит" от 0 до N. Функция ƒ также естественным образом продолжается до функции ƒ* определяется на гиперреалах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартной настройке (когда N конечна) точка с максимальным значением ƒ всегда можно выбрать среди N+1 балл Икс_я, по индукции. Следовательно, по принцип передачи, есть гиперинтегральное число я₀ такое, что 0 ≤ я₀ ≤ N и ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$ для всех я = 0, …, N. Рассмотрим реальную точку

${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$

куда ул это стандартная функция детали. Произвольная действительная точка Икс лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$, так что ул(Икс_я) = Икс. Применение ул к неравенству ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$, мы получаем ${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$. По преемственности ƒ у нас есть

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно ƒ(c) ≥ ƒ(Икс), для всех реальных Икс, доказывая c быть максимумом ƒ.^[3]

Доказательство из первых принципов

Заявление Если ${\displaystyle f(x)}$ продолжается на ${\displaystyle [a,b]}$ затем он достигает своего превосходства на ${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство По теореме об ограниченности ${\displaystyle f(x)}$ ограничена сверху на ${\displaystyle [a,b]}$ и по свойству полноты действительных чисел имеет верхнюю грань в ${\displaystyle [a,b]}$. Назовем это ${\displaystyle M}$, или же ${\displaystyle M[a,b]}$. Понятно, что ограничение ${\displaystyle f}$ на подынтервал ${\displaystyle [a,x]}$ куда ${\displaystyle x\leq b}$ имеет супремум ${\displaystyle M[a,x]}$ что меньше или равно ${\displaystyle M}$, и это ${\displaystyle M[a,x]}$ увеличивается с ${\displaystyle f(a)}$ к ${\displaystyle M}$ в качестве ${\displaystyle x}$ увеличивается с ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle b}$.

Если ${\displaystyle f(a)=M}$ тогда мы закончили. Предположим поэтому, что ${\displaystyle f(a)<M}$ и разреши ${\displaystyle d=M-f(a)}$. Рассмотрим множество ${\displaystyle L}$ очков ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,b]}$ такой, что ${\displaystyle M[a,x]<M}$.

Четко ${\displaystyle a\in L}$ ; кроме того, если ${\displaystyle e>a}$ это еще один момент в ${\displaystyle L}$ тогда все точки между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle e}$ также принадлежат ${\displaystyle L}$ потому что ${\displaystyle M[a,x]}$ монотонно возрастает. Следовательно ${\displaystyle L}$ непустой интервал, закрытый на левом конце ${\displaystyle a}$.

Сейчас же ${\displaystyle f}$ непрерывна справа в ${\displaystyle a}$, следовательно, существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$. Таким образом ${\displaystyle f}$ меньше чем ${\displaystyle M-d/2}$ на интервале ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ так что все эти точки принадлежат ${\displaystyle L}$.

Следующий, ${\displaystyle L}$ ограничен сверху ${\displaystyle b}$ и поэтому имеет верхнюю грань в ${\displaystyle [a,b]}$ : назовем это ${\displaystyle s}$. Мы видим из вышеизложенного, что ${\displaystyle s>a}$. Мы покажем, что ${\displaystyle s}$ это точка, которую мы ищем, т.е. точка, где ${\displaystyle f}$ достигает своего супремума, или другими словами ${\displaystyle f(s)=M}$.

Предположим противное, а именно. ${\displaystyle f(s)<M}$. Позволять ${\displaystyle d=M-f(s)}$ и рассмотрим следующие два случая:

(1)    ${\displaystyle s<b}$. В качестве ${\displaystyle f}$ непрерывно на ${\displaystyle s}$, Существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$. Это означает, что ${\displaystyle f}$ меньше чем ${\displaystyle M-d/2}$ на интервале ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$. Но это следует из превосходства ${\displaystyle s}$ что существует точка, ${\displaystyle e}$ скажем, принадлежащий к ${\displaystyle L}$ что больше чем ${\displaystyle s-\delta }$. По определению ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M[a,e]<M}$. Позволять ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ тогда для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,e]}$, ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$. Принимая ${\displaystyle d_{2}}$ быть минимумом ${\displaystyle d/2}$ и ${\displaystyle d_{1}}$, у нас есть ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$.

Следовательно ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$ так что ${\displaystyle s+\delta \in L}$. Однако это противоречит верховенству ${\displaystyle s}$ и завершает доказательство.

(2)    ${\displaystyle s=b}$. В качестве ${\displaystyle f}$ непрерывна слева в ${\displaystyle s}$, Существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$. Это означает, что ${\displaystyle f}$ меньше чем ${\displaystyle M-d/2}$ на интервале ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$. Но это следует из превосходства ${\displaystyle s}$ что существует точка, ${\displaystyle e}$ скажем, принадлежащий к ${\displaystyle L}$ что больше чем ${\displaystyle s-\delta }$. По определению ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M[a,e]<M}$. Позволять ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ тогда для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,e]}$, ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$. Принимая ${\displaystyle d_{2}}$ быть минимумом ${\displaystyle d/2}$ и ${\displaystyle d_{1}}$, у нас есть ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,b]}$. Это противоречит верховенству ${\displaystyle M}$ и завершает доказательство. ∎

Продолжение до полунепрерывных функций

Если непрерывность функции ж ослаблен до полунепрерывность, то выполняются соответствующая половина теоремы об ограниченности и теоремы об экстремальном значении и значения –∞ или + ∞ соответственно из расширенная строка действительных чисел могут быть допустимы как возможные значения. Точнее:

Теорема: Если функция ж : [а,б] → [–∞, ∞) полунепрерывно сверху, что означает, что

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

для всех Икс в [а,б], тогда ж ограничена сверху и достигает своего супремума.

Доказательство: Если ж(Икс) = –∞ для всех Икс в [а,б], то супремум также равен –∞ и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство представляет собой небольшую модификацию приведенных выше доказательств. При доказательстве теоремы об ограниченности полунепрерывность сверху ж в Икс только означает, что предел высшего подпоследовательности {ж(Икс_пk)} ограничена сверху ж(Икс) <∞, но этого достаточно, чтобы получить противоречие. В доказательстве теоремы о крайнем значении полунепрерывность сверху ж в d следует, что верхний предел подпоследовательности {ж(d_пk)} ограничена сверху ж(d), но этого достаточно, чтобы заключить, что ж(d) = M. ∎

Применяя этот результат к -ж доказывает:

Теорема: Если функция ж : [а,б] → (–∞, ∞] полунепрерывно снизу, что означает, что

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

для всех Икс в [а,б], тогда ж ограничена снизу и достигает своей инфимум.

Вещественнозначная функция полунепрерывна как сверху, так и снизу, если и только если она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, из этих двух теорем следует теорема об ограниченности и теорема об экстремальном значении.

Рекомендации

1. Руснок, Пол; Керр-Лоусон, Ангус (2005). «Больцано и равномерная непрерывность». Historia Mathematica. 32 (3): 303–311. Дои:10.1016 / j.hm.2004.11.003.
2. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу Хилл. С. 89–90. ISBN  0-07-054235-X.
3. Кейслер, Х. Джером (1986). Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (PDF). Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. п. 164. ISBN  0-87150-911-3.

дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1995). Исчисление: полный курс. Читает: Эддисон-Уэсли. С. 706–707. ISBN  0-201-82823-5.
• Проттер, М. Х.; Морри, К. Б. (1977). «Теоремы об ограниченности и экстремальности». Первый курс реального анализа. Нью-Йорк: Спрингер. С. 71–73. ISBN  0-387-90215-5.

внешняя ссылка

• Доказательство теоремы об экстремальном значении в завязать узел
• «Теорема об ограниченности». PlanetMath.
• "Теорема об экстремальном значении". PlanetMath.
• Теорема об экстремальном значении Жаклин Вандзура с дополнительными вкладами Стивена Вандзуры, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема об экстремальном значении". MathWorld.
• Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15