Задача максимизации угла Региомонтана - Regiomontanus angle maximization problem

В математика, то Задача максимизации угла Региомонтана, это известный оптимизация проблема^[1] поставлена ​​немецким математиком XV века Иоганнесом Мюллером^[2] (также известный как Региомонтан ). Проблема в следующем:

Две точки на уровне глаз - это возможные места расположения глаз зрителя.

На стене висит картина. Учитывая высоту верха и низа картины над уровнем глаз зрителя, как далеко от стены должен стоять зритель, чтобы максимально увеличить угол. поданный по картине и чья вершина находится на глазах у зрителя?

Если зритель стоит слишком близко к стене или слишком далеко от стены, угол небольшой; где-то посередине он максимально велик.

Тот же подход применяется к поиску оптимального места для удара по мячу в регби.^[3] В этом отношении необязательно, чтобы изображение было выровнено под прямым углом: мы могли бы смотреть в окно Пизанской башни или риэлтора, демонстрирующего преимущества небесного света на наклонной чердачной крыше.

Решение по элементарной геометрии

Есть уникальный круг проходит через верх и низ картины и касается линии на уровне глаз. По элементарной геометрии, если позиция зрителя двигалась по окружности, угол, представленный картиной, останется постоянным. Все позиции на линии уровня глаз, кроме точки касания, находятся за пределами круга, и поэтому угол, под которым рисунок из этих точек, меньше.

Евклида Элементы III.36 (альтернативно теорема о силе точки ) расстояние от стены до точки касания равно среднее геометрическое высоты верха и низа картины. Это, в свою очередь, означает, что если мы отразим нижнюю часть изображения в линии на уровне глаз и нарисуем круг с отрезком между верхом изображения и этой отраженной точкой в ​​качестве диаметра, круг пересечет линию на уровне глаз. уровень в требуемом положении (по Элементам II.14).^{[требуется разъяснение ]}

Решение по исчислению

В настоящее время эта проблема широко известна, потому что она фигурирует в качестве упражнения во многих учебниках по математическому анализу для первого года обучения (например, в книге Стюарта^[4]).

Позволять

а = высота низа картины над уровнем глаз;

б = высота верха картины над уровнем глаз;

Икс = расстояние зрителя от стены;

α = угол возвышения низа картины, если смотреть с позиции зрителя;

β = угол подъема верхней части картины, если смотреть с позиции зрителя.

Угол, который мы стремимся максимизировать, равен β - α. В касательная угла увеличивается с увеличением угла; поэтому достаточно максимизировать

${\displaystyle \tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.}$

С б − а является положительной константой, нам нужно только максимизировать следующую за ней дробь. Дифференцируя, получаем

${\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}}$

Следовательно, угол увеличивается как Икс идет от 0 до √ab и убывает как Икс увеличивается с √ab. Следовательно, угол как можно больше именно тогда, когда Икс = √ab, то среднее геометрическое из а иб.

Решение по алгебре

Мы видели, что достаточно максимизировать

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}.}$

Это эквивалентно сведение к минимуму обратное:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.}$

Обратите внимание, что эта последняя величина равна

${\displaystyle \left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.}$

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть алгебраические детали, или «скрыть», чтобы скрыть их.)

Напомним, что

${\displaystyle (u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.}$

Таким образом, когда у нас есть ты² + v², мы можем добавить средний член −2УФ чтобы получить идеальный квадрат. У нас есть

${\displaystyle x+{\frac {ab}{x}}.}$

Если мы рассматриваем Икс в качестве ты² и ab/Икс в качестве v², тогда ты = √Икс и v = √ab/Икс, и так

${\displaystyle 2uv=2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}=2{\sqrt {ab\,{}}}.}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=u^{2}+v^{2}=\underbrace {\left(u^{2}-2uv+v^{2}\right)} _{\text{a perfect square}}+2uv\\&=(u-v)^{2}+2uv=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.\end{aligned}}}$

Это как можно меньше, когда квадрат равен 0, и это происходит, когда Икс = √ab. В качестве альтернативы мы могли бы привести это как пример неравенства между средними арифметическими и геометрическими.

Рекомендации

1. Генрих Дёрри,100 великих проблем элементарной математики: их история и решение, Dover, 1965, стр. 369–370.
2. Эли Маор, Тригонометрические наслаждения, Princeton University Press, 2002, страницы 46–48
3. Джонс, Трой; Джексон, Стивен (2001), «Регби и математика: удивительное звено между геометрией, кониками и исчислением» (PDF), Учитель математики, 94 (8): 649–654.
4. Джеймс Стюарт, Исчисление: ранние трансцендентальные теории, Пятое издание, Брукс / Коул, 2003 г., стр. 340, упражнение 58