Список интегралов рациональных функций - List of integrals of rational functions
Статья со списком Википедии
Ниже приводится список интегралы (первообразный функции) рациональные функции. Любая рациональная функция может быть интегрирована частичное разложение на фракции функции в сумму функций вида:
, и 
которые затем можно интегрировать по срокам.
Для других типов функций см. списки интегралов.
Разные интегранты


![{ displaystyle int { frac {1} {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2a}} ln left | { frac {xa} {x + a}} right | + C = { begin {cases} displaystyle - { frac {1} {a}} , operatorname {artanh} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {ax} {a + x}} + C & { text {(for}} | x | <| a | { mbox {)}} [12pt] displaystyle - { frac {1} {a}} , operatorname {arcoth} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {xa} {x + a}} + C & { text {(для}} | x |> | a | { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f707d02dbc04ceb2d02ddb5bfd60ab31f45b6b55)
![{ displaystyle int { frac {1} {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2a}} ln left | { frac {a + x} {ax}} right | + C = { begin {cases} displaystyle { frac {1} {a}} , operatorname {artanh} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {a + x} {ax}} + C & { text {(for}} | x | <| a | { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {1} {a}} , operatorname {arcoth} { frac {x} {a}} + C = { frac {1} {2a}} ln { frac {x + a} {xa}} + C & { text {(for}} | x |> | a | { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d41f30fbfce8f00f5e1503b29b5e0b8415fadec)
![{ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2 ^ {n}} + 1}} = { frac {1} {2 ^ {n-1}}} sum _ {k = 1} ^ {2 ^ {n-1}} sin left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) arctan left [ left (x- cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) right) csc left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right ) right] - { frac {1} {2}} cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) ln left | x ^ {2 } -2x cos left ({ frac {2k-1} {2 ^ {n}}} pi right) +1 right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5086de865f6047c3f115bfbc3bd5ffde147a645c)
Интегранты формы Иксм(а х + б)п
Многие из следующих первообразных имеют термин формы ln |топор + б|, Потому что это не определено, когда Икс = −б / а, самая общая форма первообразной заменяет постоянная интеграции с локально постоянная функция.[1] Однако в обозначениях это принято не указывать. Например,

обычно сокращается как

куда C следует понимать как обозначение локально постоянной функции Икс. Это соглашение будет соблюдаться в дальнейшем.
(Квадратурная формула Кавальери )











Интегранты формы Иксм / (а х2 + б х + c)п
За 
![{ displaystyle int { frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}} dx = { begin {cases} displaystyle { frac {2} { sqrt {4ac-b ^ {2} }}} arctan { frac {2ax + b} { sqrt {4ac-b ^ {2}}}} + C & { text {(для}} 4ac-b ^ {2}> 0 { mbox { )}} [12pt] displaystyle { frac {1} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} ln left | { frac {2ax + b - { sqrt {b ^ { 2} -4ac}}} {2ax + b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} right | + C = { begin {cases} displaystyle - { frac {2} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} , operatorname {artanh} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(для}} | 2ax + b | <{ sqrt {b ^ {2} -4ac}} { mbox {)}} [6pt] displaystyle - { frac {2} { sqrt {b ^ {2} - 4ac}}} , operatorname {arcoth} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(else)}} end {case}} & { text {(для}} 4ac-b ^ {2} <0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle - { frac {2} {2ax + b}} + C & { text {(для}} 4ac-b ^ {2} = 0 { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6e45e8f485cc92285459242e5edc389b0a4b3c)

![{ displaystyle int { frac {mx + n} {ax ^ {2} + bx + c}} , dx = { begin {cases} displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | + { frac {2an-bm} {a { sqrt {4ac-b ^ {2}}}}} arctan { frac {2ax + b} { sqrt {4ac-b ^ {2}}}} + C & { text {(для}} 4ac-b ^ {2}> 0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | + { frac {2an-bm} {2a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} ln left | { frac {2ax + b - { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2ax + b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} right | + С = { begin {cases} displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an-bm} {a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} , operatorname {artanh} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(для }} | 2ax + b | <{ sqrt {b ^ {2} -4ac}} { mbox {)}} [6pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an-bm} {a { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} , operatorname {arcoth} { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} + C & { text {(else)}} end {case}} & { text {(для}} 4ac-b ^ {2} <0 { mbox {)}} [12pt] displaystyle { frac {m} {2a}} ln left | ax ^ {2} + bx + c right | - { frac {2an- bm} {a (2ax + b)}} + C = { frac {m} {a}} ln left | x + { frac {b} {2a}} right | - { frac {2an-bm} {a (2ax + b)}} + C & { text {(для}} 4ac-b ^ {2} = 0 { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137aeb719faa0d412412ce2afb21f694747e79af)



Интегранты формы Иксм (а + б хп)п
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями степени. м и п в сторону 0.
- Эти формулы приведения могут использоваться для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.






Интегранты вида (А + B x) (а + б х)м (c + d x)п (е + f x)п
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м, п и п в сторону 0.
- Эти формулы приведения могут использоваться для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
установив B до 0.






Интегранты формы Иксм (А + B xп) (а + б хп)п (c + d xп)q
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м, п и q в сторону 0.
- Эти формулы редукции можно использовать для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
и
установив м и / или B до 0.














Интегранты вида (d + бывший)м (а + б х + c x2)п когда б2 − 4 а с = 0
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м и п в сторону 0.
- Эти формулы редукции можно использовать для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
когда
установив м до 0.








Интегранты вида (d + бывший)м (А + B x) (а + б х + c x2)п
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м и п в сторону 0.
- Эти формулы редукции можно использовать для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
и
установив м и / или B до 0.















Интегранты формы Иксм (а + б хп + c x2п)п когда б2 − 4 а с = 0
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м и п в сторону 0.
- Эти формулы редукции можно использовать для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
когда
установив м до 0.








Интегранты формы Иксм (А + B xп) (а + б хп + c x2п)п
- Результирующие подынтегральные выражения имеют ту же форму, что и исходные подынтегральные выражения, поэтому эти формулы редукции можно многократно применять для управления показателями м и п в сторону 0.
- Эти формулы редукции можно использовать для подынтегральных выражений, имеющих целые и / или дробные показатели.
- Частные случаи этих формул редукции можно использовать для подынтегральных выражений вида
и
установив м и / или B до 0.












Рекомендации