Формула Эйлера – Маклорена - Euler–Maclaurin formula

В математика, то Формула Эйлера – Маклорена формула для разницы между интеграл и тесно связанный сумма. Его можно использовать для приближения интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечная серия используя интегралы и технику исчисление. Например, многие асимптотические разложения выводятся из формулы, и Формула Фаульхабера ибо сумма полномочий - это немедленное следствие.

Формула была открыта независимо Леонард Эйлер и Колин Маклорен около 1735 года. Эйлеру он понадобился для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал его для вычисления интегралов. Позже это было обобщено на Формула Дарбу.

Формула

Если ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ находятся натуральные числа и ${\displaystyle f(x)}$ это настоящий или же сложный ценится непрерывная функция за действительные числа ${\displaystyle x}$ в интервал ${\displaystyle [m,n]}$, то интеграл

${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$

можно приблизить к сумме (или наоборот)

${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$

(видеть метод прямоугольника ). Формула Эйлера – Маклорена дает выражения для разницы между суммой и интегралом в терминах старшей производные ${\displaystyle f^{(k)}(x)}$ оценивается в конечных точках интервала, то есть когда ${\displaystyle x=m}$ и ${\displaystyle x=n}$.

В явном виде для ${\displaystyle p}$ положительный целое число и функция ${\displaystyle f(x)}$ то есть ${\displaystyle p}$ раз непрерывно дифференцируемый на интервале ${\displaystyle [m,n]}$, у нас есть

${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))}+R_{p},}$

куда ${\displaystyle B_{k}}$ это ${\displaystyle k}$th Число Бернулли (с ${\displaystyle B_{1}=1/2}$) и ${\displaystyle R_{p}}$ является срок ошибки что зависит от ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle p}$, и ${\displaystyle f}$ и обычно мала для подходящих значений ${\displaystyle p}$.

Формула часто записывается с нижним индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением ${\displaystyle B_{1}}$. В этом случае мы имеем^[1][2]

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p},}$

или альтернативно

${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}.}$

Остающийся срок

Смотрите также: Полиномы Бернулли

Остаточный член возникает потому, что интеграл обычно не в точности равен сумме. Формулу можно получить, применяя повторяющиеся интеграция по частям в последовательные интервалы ${\displaystyle [r,r+1]}$ за ${\displaystyle r=m,m+1,\ldots ,n-1}$. Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.

Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизованных функций Бернулли ${\displaystyle P_{k}(x)}$. Многочлены Бернулли могут быть определены рекурсивно следующим образом: ${\displaystyle B_{0}(x)=1}$ и для ${\displaystyle k\geq 1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$

Периодизированные функции Бернулли определяются как

${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}(x-\lfloor x\rfloor ),}$

куда ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное ${\displaystyle x}$ (так что ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ всегда лежит в интервале ${\displaystyle [0,1)}$).

В этих обозначениях остаточный член ${\displaystyle R_{p}}$ равно

${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$

Когда ${\displaystyle k>0}$, можно показать, что

${\displaystyle |B_{k}(x)|\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$

куда ${\displaystyle \zeta }$ обозначает Дзета-функция Римана; один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в том, чтобы получить ряд Фурье для многочленов ${\displaystyle B_{k}(x)}$. Оценка достигается даже при ${\displaystyle k}$ когда ${\displaystyle x}$ равно нулю. Период, термин ${\displaystyle \zeta (k)}$ может быть опущено для нечетных ${\displaystyle k}$ но в этом случае доказательство более сложное (см. Lehmer).^[3] Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как

${\displaystyle |R_{p}|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}|f^{(p)}(x)|\,dx.}$

Случаи низкого порядка

Числа Бернулли из ${\displaystyle B_{1}}$ к ${\displaystyle B_{7}}$ находятся ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{6}},0,-{\tfrac {1}{30}},0,{\tfrac {1}{42}},0.}$ Следовательно, младшие случаи формулы Эйлера-Маклорена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$

Приложения

Базельская проблема

В Базельская проблема это определить сумму

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Эйлер вычислил эту сумму с точностью до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера – Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$, что он и доказал в том же году.^[4]

Суммы с многочленом

Смотрите также: Формула Фаульхабера

Если ${\displaystyle f}$ это многочлен и ${\displaystyle p}$ достаточно велико, то остаточный член обращается в нуль. Например, если ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, мы можем выбрать ${\displaystyle p=2}$ чтобы получить после упрощения

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Аппроксимация интегралов

Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Позволять ${\displaystyle a<b}$ быть конечными точками интервала интегрирования. Исправить ${\displaystyle N}$, количество точек, используемых в приближении, и обозначим соответствующий размер шага как ${\displaystyle h=(b-a)/(N-1)}$. Набор ${\displaystyle x_{i}=a+(i-1)h}$, так что ${\displaystyle x_{1}=a}$ и ${\displaystyle x_{N}=b}$. Потом:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}[f'(x_{1})-f'(x_{N})]-{\frac {h^{4}}{720}}[f'''(x_{1})-f'''(x_{N})]+\cdots .\end{aligned}}}$

Это можно рассматривать как продолжение правило трапеции путем включения условий исправления. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; существует некоторое ${\displaystyle p}$, в зависимости от ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h}$, так что сроки истекли ${\displaystyle p}$ быстро увеличиваются. Таким образом, оставшийся член обычно требует пристального внимания.^[5]

Формула Эйлера – Маклорена также используется для детального анализ ошибок в числовая квадратура. Это объясняет превосходную производительность трапеция на гладком периодические функции и используется в некоторых методы экстраполяции. Квадратура Кленшоу – Кертиса по сути, представляет собой замену переменных для приведения произвольного интеграла через интегралы от периодических функций, где подход Эйлера – Маклорена очень точен (в этом частном случае формула Эйлера – Маклорена принимает форму дискретное косинусное преобразование ). Этот прием известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм

В контексте вычислений асимптотические разложения сумм и серии, обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера – Маклорена является

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$

куда ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ целые числа.^[6] Часто расширение остается в силе даже после выхода за пределы ${\displaystyle a\rightarrow -\infty }$ или же ${\displaystyle b\rightarrow +\infty }$ или оба. Во многих случаях интеграл в правой части можно вычислить как закрытая форма с точки зрения элементарные функции хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены через элементарные функции. Например,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$

Здесь левая часть равна ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$, а именно первого порядка полигамма функция определяется ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)=(d/dz)^{2}(\log \Gamma (z))}$; то гамма-функция ${\displaystyle \Gamma (z)}$ равно ${\displaystyle (z-1)!}$ если ${\displaystyle z}$ это положительное число. Это приводит к асимптотическому разложению для ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$. Это разложение, в свою очередь, служит отправной точкой для одного из выводов точных оценок погрешности для Приближение Стирлинга из факториал функция.

Примеры

Если s целое число больше 1, мы имеем:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$

Сбор констант в значение Дзета-функция Римана, мы можем написать асимптотическое разложение:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$

За s равный 2, это упрощает

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$

или же

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$

Когда s = 1, соответствующий метод дает асимптотическое разложение для гармонические числа:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$

куда ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649015328606065}$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Доказательства

Вывод математической индукцией

Обрисовываем аргумент, данный в Апостоле.^[1]

В Полиномы Бернулли B_п(Икс) и периодические функции Бернулли п_п(Икс) за п = 0, 1, 2, ... были введены выше.

Первые несколько полиномов Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\\&\vdots \end{aligned}}}$

Ценности B_п(0) являются Числа Бернулли B_п. Обратите внимание, что для п ≠ 1 у нас есть

${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)=B_{n}(1),}$

и для п = 1,

${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-B_{1}(1).}$

Функции п_п согласуются с полиномами Бернулли на интервале [0, 1] и есть периодический с периодом 1. Кроме того, кроме случаев, когда п = 1, они также непрерывны. Таким образом,

${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad (n\neq 1)}$

Позволять k - целое число, и рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&&({\text{since }}P_{0}(x)=1),\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$

Интеграция по частям, мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

С помощью ${\displaystyle B_{1}(0)=-1/2}$, ${\displaystyle B_{1}(1)=1/2}$, и суммируя вышеизложенное из k = 0 к k = п − 1, мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\dotsb +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Добавление (ж(п) − ж(0)) / 2 в обе стороны и переставляя, имеем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$

Это п = 1 случай формулы суммирования. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки:

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\frac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$

Результат интегрирования по частям:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Суммируя из k = 0 к k = п − 1 и замена этого члена ошибки более низкого порядка приводит к п = 2 случай формулы,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}(f'(n)-f'(0))-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$

Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера – Маклорена, которую можно формализовать следующим образом: математическая индукция, в котором шаг индукции основан на интегрировании по частям и тождествах для периодических функций Бернулли.

Смотрите также

• Чезаро суммирование
• Суммирование Эйлера
• Квадратурная формула Гаусса – Кронрода
• Формула Дарбу
• Суммирование Эйлера – Буля

Примечания

1. Апостол, Т.М. (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». В Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 106 (5): 409–418. Дои:10.2307/2589145. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589145.
2. «Электронная библиотека математических функций: суммы и последовательности». Национальный институт стандартов и технологий.
3. Лемер, Д. Х. (1940). «О максимумах и минимумах многочленов Бернулли». Американский математический ежемесячник. 47 (8): 533–538. Дои:10.2307/2303833.
4. Пенгелли, Дэвид Дж. «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера», в: Роберт Брэдли и Эд Сандифер (редакторы), Материалы конференции Euler 2K + 2 (Рамфорд, Мэн, 2002 г.), Общество Эйлера, 2003.
5. Devries, Paul L .; Хасбрун, Хавьер Э. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Издательство. п. 156.
6. Абрамовиц и Стегун (1972), 23.1.30

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. десятый тираж., стр.16, 806, 886
• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы интегрирования Эйлера – Маклорена». MathWorld.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль Введение в числа Бернулли, (2002)
• Монтгомери, Хью Л.; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97. С. 495–519. ISBN  0-521-84903-9.