Суммирование Эйлера – Буля - Euler–Boole summation

Суммирование Эйлера – Буля это метод суммирования чередующийся ряд на основе Полиномы Эйлера, которые определяются

{ displaystyle { frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} E_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}

Концепция названа в честь Леонард Эйлер и Джордж Буль.

Периодические функции Эйлера:

{ displaystyle { widetilde {E}} _ {n} (x + 1) = - { widetilde {E}} _ {n} (x) { text {и}} { widetilde {E}} _ {n} (x) = E_ {n} (x) { text {for}} 0

Формула Эйлера – Буля для суммирования знакопеременных рядов:

{ displaystyle sum _ {j = a} ^ {n-1} (- 1) ^ {j} f (j + h) = { frac {1} {2}} sum _ {k = 0} ^ {m-1} { frac {E_ {k} (h)} {k!}} left ((- 1) ^ {n-1} f ^ {(k)} (n) + (- 1 ) ^ {a} f ^ {(k)} (a) right) + { frac {1} {2 (m-1)!}} int _ {a} ^ {n} f ^ {(m )} (x) { widetilde {E}} _ {m-1} (hx) , dx,}

куда ${ displaystyle a, m, n in mathbb {N}, a$ и ${ displaystyle f ^ {(k)}}$ это k-я производная.

Рекомендации