Суммирование Эйлера - Euler summation

В математике сходящийся и расходящийся ряд, Суммирование Эйлера это метод суммирования. То есть это метод присвоения значения ряду, отличный от обычного метода определения пределов частичных сумм. Учитывая серию ∑а_п, если это Преобразование Эйлера сходится к сумме, то эта сумма называется Сумма Эйлера оригинальной серии. Помимо определения значений расходящихся рядов, суммирование Эйлера может использоваться для ускорения сходимости рядов.

Суммирование Эйлера можно обобщить до семейства методов, обозначенных (E, q), куда q ≥ 0. Сумма (E, 1) - это обычная сумма Эйлера. Все эти методы строго слабее, чем Борелевское суммирование; за q > 0 они несравнимы с Суммирование Абеля.

Определение

Для некоторой стоимости у мы можем определить сумму Эйлера (если она сходится для этого значения у), соответствующий определенному формальному суммированию как:

${\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}.}$

Если все формальные суммы действительно сходятся, сумма Эйлера будет равна левой части. Однако с помощью суммирования Эйлера можно ускорить конвергенцию (это особенно полезно для чередования серий); иногда он также может дать полезный смысл расходящимся суммам.

Чтобы оправдать этот подход, обратите внимание, что для переставленной суммы суммирование Эйлера сводится к исходному ряду, поскольку

${\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}$

Сам этот метод не может быть улучшен итеративным приложением, так как

${\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}$

Примеры

• С помощью у = 1 для формальной суммы

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)}$

мы получили

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),}$

если п_k является полиномом от степень k. Обратите внимание, что внутренняя сумма будет равна нулю для я > k, поэтому в этом случае суммирование Эйлера сводит бесконечный ряд к конечной сумме.

• Особый выбор

${\displaystyle P_{k}(j):=(j+1)^{k}}$

обеспечивает явное представление Числа Бернулли, поскольку

${\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\zeta (-k)}$

(в Дзета-функция Римана ). Действительно, формальная сумма в этом случае расходится, поскольку k положительна, но применяя суммирование Эйлера к дзета-функции (или, скорее, к связанной Эта функция Дирихле ) дает (ср. Глобально сходящийся ряд )

${\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}}$

который из закрытая форма.

• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}}$

При соответствующем выборе у (т.е. равно или близко к -1/z) этот ряд сходится к 1/1 − z.

Смотрите также

• Биномиальное преобразование
• Борелевское суммирование
• Чезаро суммирование
• Суммирование Ламберта
• Формула Перрона
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Формула Абеля – Планы
• Формула суммирования Абеля
• Преобразование Ван Вейнгаардена
• Суммирование Эйлера – Буля

Рекомендации

• Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: век развития. Springer. ISBN  3-540-21058-Х.
• Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994). Борелевские методы суммирования: теория и приложения.. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853585-6.
• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ второе издание. Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN  0-201-00288-4.