Формула Дарбу - Darbouxs formula
В математический анализ, Формула Дарбу формула, введенная Гастон Дарбу (1876 ) за подведение итогов бесконечная серия используя интегралы или вычисление интегралов с использованием бесконечного ряда. Это обобщение комплексная плоскость из Формула суммирования Эйлера – Маклорена, который используется для аналогичных целей и получен аналогичным образом (путем повторения интеграция по частям конкретного выбора интегрировать ). Формулу Дарбу также можно использовать для вывода Серия Тейлор из исчисление.
Заявление
Если φ(т) - многочлен степени п и ж аналитическая функция, тогда
![{ displaystyle { begin {align} & sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} (za) ^ {m} left [ varphi ^ {(nm)} (1 ) f ^ {(m)} (z) - varphi ^ {(nm)} (0) f ^ {(m)} (a) right] = {} & (- 1) ^ {n} (za) ^ {n + 1} int _ {0} ^ {1} varphi (t) f ^ {(n + 1)} left [a + t (za) right] , dt. конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04ed7553d043805c21d03f660dc6425c34886c)
Формула может быть доказана повторением интеграция по частям.
Особые случаи
Принимая φ быть Многочлен Бернулли в формуле Дарбу дает Формула суммирования Эйлера – Маклорена. Принимая φ быть (т − 1)п дает формулу для Серия Тейлор.
Рекомендации
- Дарбу (1876 г.), "Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3 (II): 291–312
- Уиттакер, Э. Т. и Уотсон, Г. Н. «Формула Дарбу». §7.1 в Курс современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 125, 1990. [1]