Теорема Штольца – Чезаро - Stolz–Cesàro theorem

В математика, то Теорема Штольца – Чезаро является критерием доказательства сходимость последовательности. Теорема названа в честь математики Отто Штольц и Эрнесто Сезаро, который это впервые заявил и доказал.

Теорема Штольца – Чезаро может рассматриваться как обобщение Чезаро среднее, но и как Правило л'Опиталя для последовательностей.

Формулировка теоремы для ∙/∞ дело

Позволять и быть двумя последовательности из действительные числа. Предположить, что это строго монотонный и расходящаяся последовательность (т.е. строго возрастающий и приближается , или же строго убывающий и приближается ) и следующие предел существуют:

Тогда предел

Формулировка теоремы для 0/0 дело

Позволять и быть двумя последовательности из действительные числа. Предположим теперь, что и пока является строго монотонный. Если

тогда

[1]

Доказательства

Доказательство теоремы для дело

Случай 1: предполагать строго возрастает и расходится с , и . По предположению у нас есть это для всех Существует такой, что

что сказать

С строго возрастает, , и имеет место

.

Затем мы замечаем, что

таким образом, применяя указанное выше неравенство к каждому слагаемому в квадратных скобках, получаем

Теперь, поскольку в качестве , существует такой, что для всех , и мы можем разделить два неравенства на для всех

Две последовательности (которые определены только для как мог быть такой, что )

бесконечно малы, поскольку а числитель - постоянное число, поэтому для всех существуют , так что

следовательно

что завершает доказательство. Случай с строго убывающий и расходящийся , и похож.

Случай 2: мы предполагаем строго возрастает и расходится с , и . Действуя как прежде, для всех Существует такой, что для всех

Опять же, применяя указанное выше неравенство к каждому члену в квадратных скобках, получаем

и

Последовательность определяется

бесконечно мала, поэтому

комбинируя это неравенство с предыдущим, заключаем

Доказательства остальных случаев с строго возрастающий или убывающий и приближающийся или же соответственно и все поступают таким же образом.

Доказательство теоремы для дело

Случай 1: сначала рассмотрим случай с и строго возрастает. На этот раз для каждого , мы можем написать

и

Две последовательности

бесконечно малы, поскольку по гипотезе , таким образом, для всех Существуют такой, что

таким образом, выбирая соответствующим образом (то есть, взяв предел относительно ) мы получаем

что завершает доказательство.

Случай 2: мы предполагаем и строго возрастает. Для всех Существует такой, что для всех

Следовательно, для каждого

Последовательность

сходится к (сохраняя фиксировано), поэтому

и, выбирая Удобно завершаем доказательство

Приложения и примеры

Теорема о case имеет несколько заметных последствий, которые полезны при вычислении пределов.

Среднее арифметическое

Позволять последовательность действительных чисел, сходящаяся к , определять

тогда строго возрастает и расходится в . Мы вычисляем

следовательно

Учитывая любую последовательность действительных чисел, предположим, что

существует (конечный или бесконечный), то

Среднее геометрическое

Позволять последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к и определить

снова мы вычисляем

где мы использовали тот факт, что логарифм непрерывно. Таким образом

поскольку логарифм непрерывен и инъективен, мы можем заключить, что

.

Учитывая любую последовательность (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

существует (конечный или бесконечный), то

Предположим, нам дана последовательность и нас просят вычислить

определение и мы получаем

если мы применим свойство выше

Эта последняя форма обычно наиболее полезна для вычисления пределов.

Учитывая любую последовательность (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

существует (конечный или бесконечный), то

Примеры

Пример 1

Пример 2

мы использовали представление как предел последовательности на последнем этапе.

Пример 3

Заметь

следовательно

Пример 4

Рассмотрим последовательность

это можно записать как

последовательность ограничена (и колеблется), а

к известный предел, потому что ; следовательно

История

Случай ∞ / ∞ изложен и доказан на страницах 173–175 книги Штольца 1885 года, а также на странице 54 статьи Чезаро 1888 года.

Она появляется как Проблема 70 в Pólya and Szeg (1925).

Общая форма

Заявление

Общий вид теоремы Штольца – Чезаро следующий:[2] Если и две последовательности такие, что монотонно и неограниченно, то:

Доказательство

Вместо доказательства предыдущего утверждения мы докажем несколько иное; сначала введем обозначение: пусть - любая последовательность, ее частичная сумма будем обозначать . Эквивалентное утверждение, которое мы докажем:

Позволять быть любыми двумя последовательностями действительные числа такой, что

  • ,
  • ,

тогда

Доказательство эквивалентного утверждения

Сначала мы замечаем, что:

  • выполняется по определению ограничивать высшее и ограничивать низшее;
  • выполняется тогда и только тогда, когда потому что для любой последовательности .

Поэтому нам нужно только показать, что . Если доказывать нечего, поэтому мы можем предположить (может быть как конечным, так и ). По определению , для всех есть натуральное число такой, что

Мы можем использовать это неравенство, чтобы написать

Потому что , у нас также есть и мы можем разделить на получить

С в качестве , последовательность

и получаем

По определению наименьшая верхняя граница, это и означает, что

и мы закончили.

Доказательство оригинального заявления

Теперь возьми как в формулировке общей формы теоремы Штольца-Чезаро и определим

поскольку строго монотонно (например, можно считать строго возрастающим), для всех и с тех пор также , поэтому мы можем применить только что доказанную теорему к (и их частичные суммы )

что мы и хотели доказать.

Рекомендации

  • Мурешан, Мариан (2008), Конкретный подход к классическому анализу, Берлин: Springer, стр. 85–88, ISBN  978-0-387-78932-3.
  • Штольц, Отто (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Лейпциг: Teubners, стр. 173–175..
  • Чезаро, Эрнесто (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, Серия 3, 7: 49–59.
  • Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, я, Берлин: Springer.
  • А.Д.Р. Чоудари, Константин Никулеску: Реальный анализ по интервалам. Springer, 2014 г., ISBN  9788132221487, стр. 59-62
  • Дж. Маршалл Эш, Аллан Береле, Стефан Катойу: Правдоподобное и подлинное расширение правила L’Hospital. Математический журнал, Vol. 85, № 1 (февраль 2012 г.), стр. 52–60 (JSTOR )

внешняя ссылка

Примечания

В статье использован материал из теоремы Штольца-Чезаро о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.