Теорема Штольца – Чезаро - Stolz–Cesàro theorem

В математика, то Теорема Штольца – Чезаро является критерием доказательства сходимость последовательности. Теорема названа в честь математики Отто Штольц и Эрнесто Сезаро, который это впервые заявил и доказал.

Теорема Штольца – Чезаро может рассматриваться как обобщение Чезаро среднее, но и как Правило л'Опиталя для последовательностей.

Формулировка теоремы для ∙/∞ дело

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ и ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ быть двумя последовательности из действительные числа. Предположить, что ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ это строго монотонный и расходящаяся последовательность (т.е. строго возрастающий и приближается ${\displaystyle +\infty }$, или же строго убывающий и приближается ${\displaystyle -\infty }$) и следующие предел существуют:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Тогда предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Формулировка теоремы для 0/0 дело

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ и ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ быть двумя последовательности из действительные числа. Предположим теперь, что ${\displaystyle (a_{n})\to 0}$ и ${\displaystyle (b_{n})\to 0}$ пока ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ является строго монотонный. Если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ }$

тогда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$^[1]

Доказательства

Доказательство теоремы для ${\displaystyle \cdot /\infty }$ дело

Случай 1: предполагать ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает и расходится с ${\displaystyle +\infty }$, и ${\displaystyle l<\infty }$. По предположению у нас есть это для всех ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ Существует ${\displaystyle \nu >0}$ такой, что ${\displaystyle \forall n>\nu }$

${\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}$

что сказать

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .}$

С ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает, ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$, и имеет место

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu }$.

Затем мы замечаем, что

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}}$

таким образом, применяя указанное выше неравенство к каждому слагаемому в квадратных скобках, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}$

Теперь, поскольку ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$, существует ${\displaystyle n_{0}>0}$ такой, что ${\displaystyle b_{n}\gneq 0}$ для всех ${\displaystyle n>n_{0}}$, и мы можем разделить два неравенства на ${\displaystyle b_{n}}$ для всех ${\displaystyle n>\max\{\nu ,n_{0}\}}$

${\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}$

Две последовательности (которые определены только для ${\displaystyle n>n_{0}}$ как мог быть ${\displaystyle N\leq n_{0}}$ такой, что ${\displaystyle b_{N}=0}$)

${\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}$

бесконечно малы, поскольку ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ а числитель - постоянное число, поэтому для всех ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ существуют ${\displaystyle n_{\pm }>n_{0}>0}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}}$

следовательно

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,}$

что завершает доказательство. Случай с ${\displaystyle (b_{n})}$ строго убывающий и расходящийся ${\displaystyle -\infty }$, и ${\displaystyle l<\infty }$ похож.

Случай 2: мы предполагаем ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает и расходится с ${\displaystyle +\infty }$, и ${\displaystyle l=+\infty }$. Действуя как прежде, для всех ${\displaystyle {\frac {3}{2}}M>0}$ Существует ${\displaystyle \nu >0}$ такой, что для всех ${\displaystyle n>\nu }$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M.}$

Опять же, применяя указанное выше неравенство к каждому члену в квадратных скобках, получаем

${\displaystyle a_{n}>{\frac {3}{2}}M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,}$

и

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+{\frac {a_{\nu +1}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}$

Последовательность ${\displaystyle (c_{n})_{n>n_{0}}}$ определяется

${\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}$

бесконечно мала, поэтому

${\displaystyle \forall M/2>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ such that }}-M/2<c_{n}<M/2,\,\forall n>{\bar {n}},}$

комбинируя это неравенство с предыдущим, заключаем

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.}$

Доказательства остальных случаев с ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастающий или убывающий и приближающийся ${\displaystyle +\infty }$ или же ${\displaystyle -\infty }$ соответственно и ${\displaystyle l=\pm \infty }$ все поступают таким же образом.

Доказательство теоремы для ${\displaystyle 0/0}$ дело

Случай 1: сначала рассмотрим случай с ${\displaystyle l<\infty }$ и ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает. На этот раз для каждого ${\displaystyle m>0}$, мы можем написать

${\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{m+\nu +1}-a_{m+\nu })+a_{m+\nu },}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +m+1}-b_{\nu +m})]+a_{\nu +m}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +m})+a_{\nu +m}.\end{aligned}}}$

Две последовательности

${\displaystyle c_{m}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +m}-b_{\nu +m}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}$

бесконечно малы, поскольку по гипотезе ${\displaystyle a_{m},b_{m}\to 0}$, таким образом, для всех ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ Существуют ${\displaystyle n^{\pm }>0}$ такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{m}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall m>n_{+},\\&|c_{m}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall m>n_{-},\end{aligned}}}$

таким образом, выбирая ${\displaystyle m}$ соответствующим образом (то есть, взяв предел относительно ${\displaystyle m}$) мы получаем

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{m}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{m}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\},}$

что завершает доказательство.

Случай 2: мы предполагаем ${\displaystyle l=+\infty }$ и ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает. Для всех ${\displaystyle {\frac {3}{2}}M>0}$ Существует ${\displaystyle \nu >0}$ такой, что для всех ${\displaystyle n>\nu }$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M.}$

Следовательно, для каждого ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+{\frac {a_{\nu +m}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +m}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}$

Последовательность

${\displaystyle c_{m}:={\frac {a_{\nu +m}-{\frac {3}{2}}Mb_{\nu +m}}{b_{n}}}}$

сходится к ${\displaystyle 0}$ (сохраняя ${\displaystyle n}$ фиксировано), поэтому

${\displaystyle \forall M/2>0\,\exists {\bar {n}}>0{\text{ such that }}-M/2<c_{m}<M/2,\,\forall m>{\bar {n}},}$

и, выбирая ${\displaystyle m}$ Удобно завершаем доказательство

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>{\frac {3}{2}}M+c_{m}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}$

Приложения и примеры

Теорема о ${\displaystyle \cdot /\infty }$ case имеет несколько заметных последствий, которые полезны при вычислении пределов.

Среднее арифметическое

Позволять ${\displaystyle (x_{n})}$ последовательность действительных чисел, сходящаяся к ${\displaystyle l}$, определять

${\displaystyle a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n}$

тогда ${\displaystyle (b_{n})}$ строго возрастает и расходится в ${\displaystyle +\infty }$. Мы вычисляем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l}$

следовательно

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Учитывая любую последовательность ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ действительных чисел, предположим, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Среднее геометрическое

Позволять ${\displaystyle (x_{n})}$ последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к ${\displaystyle l}$ и определить

${\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,}$

снова мы вычисляем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}$

где мы использовали тот факт, что логарифм непрерывно. Таким образом

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),}$

поскольку логарифм непрерывен и инъективен, мы можем заключить, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$.

Учитывая любую последовательность ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Предположим, нам дана последовательность ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ и нас просят вычислить

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

определение ${\displaystyle y_{0}=1}$ и ${\displaystyle x_{n}=y_{n}/y_{n-1}}$ мы получаем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

если мы применим свойство выше

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.}$

Эта последняя форма обычно наиболее полезна для вычисления пределов.

Учитывая любую последовательность ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$ (строго) положительных действительных чисел, предположим, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}}$

существует (конечный или бесконечный), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.}$

Примеры

Пример 1

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}$

Пример 2

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}.\end{aligned}}}$

мы использовали представление ${\displaystyle e}$ как предел последовательности на последнем этапе.

Пример 3

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n!)}{n\log(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log({\sqrt[{n}]{n!}})}{\log(n)}},}$

Заметь

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!}{n!}}=\lim _{n\to \infty }(n+1)}$

следовательно

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n!)}{n\log(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(n+1)}{\log(n)}}=1.}$

Пример 4

Рассмотрим последовательность

${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}{\frac {n!}{n^{n}}}}$

это можно записать как

${\displaystyle a_{n}=b_{n}\cdot c_{n},\quad b_{n}:=(-1)^{n},c_{n}:={\Big (}{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}{\Big )}^{n},}$

последовательность ${\displaystyle (b_{n})}$ ограничена (и колеблется), а

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big (}{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}{\Big )}^{n}=\lim _{n\to \infty }(1/e)^{n}=0,}$

к известный предел, потому что ${\displaystyle 1/e<1}$; следовательно

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(-1)^{n}{\frac {n!}{n^{n}}}=0.}$

История

Случай ∞ / ∞ изложен и доказан на страницах 173–175 книги Штольца 1885 года, а также на странице 54 статьи Чезаро 1888 года.

Она появляется как Проблема 70 в Pólya and Szeg (1925).

Общая форма

Заявление

Общий вид теоремы Штольца – Чезаро следующий:^[2] Если ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ и ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ две последовательности такие, что ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ монотонно и неограниченно, то:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

Доказательство

Вместо доказательства предыдущего утверждения мы докажем несколько иное; сначала введем обозначение: пусть ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ - любая последовательность, ее частичная сумма будем обозначать ${\displaystyle A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}}$. Эквивалентное утверждение, которое мы докажем:

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}}$ быть любыми двумя последовательностями действительные числа такой, что

• ${\displaystyle b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}}$,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty }$,

тогда

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}$

Доказательство эквивалентного утверждения

Сначала мы замечаем, что:

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ выполняется по определению ограничивать высшее и ограничивать низшее;
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ потому что ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})}$ для любой последовательности ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$.

Поэтому нам нужно только показать, что ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$. Если ${\displaystyle L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$ доказывать нечего, поэтому мы можем предположить ${\displaystyle L<+\infty }$ (может быть как конечным, так и ${\displaystyle -\infty }$). По определению ${\displaystyle \limsup }$, для всех ${\displaystyle l>L}$ есть натуральное число ${\displaystyle \nu >0}$ такой, что

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .}$

Мы можем использовать это неравенство, чтобы написать

${\displaystyle A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,}$

Потому что ${\displaystyle b_{n}>0}$, у нас также есть ${\displaystyle B_{n}>0}$ и мы можем разделить на ${\displaystyle B_{n}}$ получить

${\displaystyle {\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .}$

С ${\displaystyle B_{n}\to +\infty }$ в качестве ${\displaystyle n\to +\infty }$, последовательность

${\displaystyle {\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ as }}n\to +\infty {\text{ (keeping }}\nu {\text{ fixed)}},}$

и получаем

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,}$

По определению наименьшая верхняя граница, это и означает, что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},}$

и мы закончили.

Доказательство оригинального заявления

Теперь возьми ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ как в формулировке общей формы теоремы Штольца-Чезаро и определим

${\displaystyle \alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1}$

поскольку ${\displaystyle (b_{n})}$ строго монотонно (например, можно считать строго возрастающим), ${\displaystyle \beta _{n}>0}$ для всех ${\displaystyle n}$ и с тех пор ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$ также ${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty }$, поэтому мы можем применить только что доказанную теорему к ${\displaystyle (\alpha _{n}),(\beta _{n})}$ (и их частичные суммы ${\displaystyle (\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})}$)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},}$

что мы и хотели доказать.

Рекомендации

• Мурешан, Мариан (2008), Конкретный подход к классическому анализу, Берлин: Springer, стр. 85–88, ISBN  978-0-387-78932-3.
• Штольц, Отто (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Лейпциг: Teubners, стр. 173–175..
• Чезаро, Эрнесто (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, Серия 3, 7: 49–59.
• Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, я, Берлин: Springer.
• А.Д.Р. Чоудари, Константин Никулеску: Реальный анализ по интервалам. Springer, 2014 г., ISBN  9788132221487, стр. 59-62
• Дж. Маршалл Эш, Аллан Береле, Стефан Катойу: Правдоподобное и подлинное расширение правила L’Hospital. Математический журнал, Vol. 85, № 1 (февраль 2012 г.), стр. 52–60 (JSTOR )

внешняя ссылка

• Правило Лопиталя и теорема Штольца-Чезаро на imomath.com
• Доказательство теоремы Штольца – Чезаро. в PlanetMath.

Примечания

1. https://www.springer.com/gp/book/9788132221470 см. страницы 59-60
2. Правило Лопиталя и теорема Штольца-Чезаро на imomath.com

В статье использован материал из теоремы Штольца-Чезаро о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.