Теорема сжатия - Squeeze theorem

«Теорема о сэндвиче» перенаправляется сюда. Результат по теории меры см. Теорема о бутерброде с ветчиной.

Иллюстрация теоремы сжатия

Когда последовательность находится между двумя другими сходящимися последовательностями с таким же пределом, она также сходится к этому пределу.

В исчисление, то теорема сжатия, также известный как теорема ущемления, то теорема о сэндвиче, то правило сэндвича, то полицейская теорема а иногда лемма о сжатии, это теорема взяв во внимание предел функции. В Италии теорема также известна как теорема карабинеров.

Теорема сжатия используется в исчислении и математический анализ. Обычно он используется для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны или легко вычисляются. Впервые он был использован геометрически математики Архимед и Евдокс в попытке вычислить π, и был сформулирован в современных терминах Карл Фридрих Гаусс.

Во многих языках (например, французском, немецком, итальянском, венгерском и русском) теорема сжатия также известна как теорема о двух полицейских (и пьяном), или некоторые его вариации.^{[нужна цитата ]} История состоит в том, что если двое полицейских сопровождают пьяного заключенного между собой, и оба полицейских идут в камеру, то (независимо от пройденного пути и того факта, что заключенный может колебаться между полицейскими), заключенный также должен закончить в камере.

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом.^[1]

Позволять я быть интервал имея точку а как предельная точка. Позволять грамм, ж, и час быть функции определено на я, кроме, возможно, в а сам. Предположим, что для каждого Икс в я не равно а, у нас есть

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

а также предположим, что

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.}$

потом ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L.}$

• Функции ${\textstyle g}$ и ${\textstyle h}$ как говорят нижняя и верхняя границы (соответственно) из ${\textstyle f}$.
• Здесь, ${\textstyle a}$ является нет требуется лежать в интерьер из ${\textstyle I}$. Действительно, если ${\textstyle a}$ конечная точка ${\textstyle I}$, то указанные пределы являются левыми или правыми.
• Аналогичное утверждение верно для бесконечных интервалов: например, если ${\textstyle I=(0,\infty )}$, то вывод верен, принимая пределы как ${\textstyle x\rightarrow \infty }$.

Эта теорема верна и для последовательностей. Позволять ${\displaystyle (a_{n}),(c_{n})}$ две последовательности, сходящиеся к ${\displaystyle \ell }$, и ${\displaystyle (b_{n})}$ последовательность. Если ${\displaystyle \forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N} }$ у нас есть ${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}}$, тогда ${\displaystyle (b_{n})}$ также сходится к ${\displaystyle \ell }$.

Доказательство

Согласно вышеприведенным гипотезам, принимая ограничивать низший и выше:

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$

так что все неравенства действительно являются равенствами, и тезис следует сразу же.

Прямое доказательство с использованием ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )}$-определение предела должно было бы доказать, что для всех реальных ${\textstyle \epsilon >0}$ существует настоящий ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что для всех ${\displaystyle x}$ с ${\displaystyle |x-a|<\delta }$, у нас есть ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$. Символично,

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ).}$

В качестве

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$

Значит это

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).\qquad (1)}$

и

${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$

Значит это

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),\qquad (2)}$

тогда у нас есть

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$

${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$

Мы можем выбрать ${\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}}$. Тогда, если ${\displaystyle |x-a|<\delta }$, объединяя (1) и (2), имеем

${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$

${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon }$,

что завершает доказательство. ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство для последовательностей очень похоже, используя ${\displaystyle \epsilon }$-определение предела последовательности.

Заявление для серии

Также существует теорема сжатия для рядов, которую можно сформулировать следующим образом:^{[нужна цитата ]}

Позволять ${\displaystyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ - два сходящихся ряда. Если ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle \forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}}$тогда ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ тоже сходится.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle \sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}}$ - два сходящихся ряда. Следовательно, последовательности ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty },\left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}\right)_{n=1}^{\infty }}$ Коши. То есть для фиксированного ${\displaystyle \epsilon >0}$,

${\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle \forall n>m>N_{1},\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\epsilon }$ (1)

и аналогично ${\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle \forall n>m>N_{2},\left|\sum _{k=1}^{n}c_{k}-\sum _{k=1}^{m}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\epsilon }$ (2).

Мы знаем это ${\displaystyle \exists N_{3}\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle \forall n>N_{3},a_{n}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}}$. Следовательно, ${\displaystyle \forall n>m>\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}}$, имеем объединение (1) и (2):

${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{m}b_{k}\right|<\epsilon }$.

Следовательно ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }}$является последовательностью Коши. Так ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$ сходится. ${\displaystyle \blacksquare }$

Примеры

Первый пример

Икс² грех (1 /Икс) сжимается в пределе, когда x стремится к 0

Лимит

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$

не может быть определено предельным законом

${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$

потому что

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})}$

не существует.

Однако по определению функция синуса,

${\displaystyle -1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.}$

Следует, что

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}}$

С ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$, по теореме сжатия, ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ также должно быть 0.

Второй пример

Сравнение областей:
${\displaystyle {\begin{aligned}&\,A(\triangle ADF)\geq A({\text{sector}}\,ADB)\geq A(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}}$

Наверное, наиболее известные примеры нахождения предела сжатием - это доказательства равенств

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0.\end{aligned}}}$

Первый предел следует с помощью теоремы о сжатии из того факта, что

${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}$^[2]

за Икс достаточно близко к 0. Правильность которого для положительного x можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. рисунок), которые также могут быть расширены до отрицательного x. Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq x}$

за Икс достаточно близко к 0. Это можно получить, заменив ${\displaystyle \sin(x)}$ в более раннем факте ${\displaystyle {\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}}$ и возведение в квадрат полученного неравенства.

Эти два ограничения используются для доказательства того факта, что производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Можно показать, что

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

путем отжима следующим образом.

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$

поскольку радиус равен секθ и дуга на единичный круг имеет длину Δθ. Точно так же площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$

Между ними зажат треугольник, основанием которого является вертикальный отрезок, концы которого - две точки. Длина основания треугольника - загар (θ + Δθ) - загар (θ), а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника равна

${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}.}$

Из неравенства

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$

мы делаем вывод, что

${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$

при условии Δθ > 0, и неравенства меняются местами, если ∆θ <0. Поскольку первое и третье выражения приближаются к sec²θ как Δθ → 0, а среднее выражение приближается (d/dθ) загарθ, желаемый результат следует.

Четвертый пример

Теорема сжатия все еще может использоваться в исчислении с несколькими переменными, но нижняя (и верхняя функции) должны быть ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и она работает только в том случае, если функция действительно есть предел. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке.^[3]

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$

нельзя найти, взяв любое количество ограничений вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

${\displaystyle 0\leq {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq 1}$

${\displaystyle -\left|y\right\vert \leq y\leq \left|y\right\vert }$

${\displaystyle -\left|y\right\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq \left|y\right\vert }$

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-\left|y\right\vert =0}$

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|y\right\vert =0}$

${\displaystyle 0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq 0}$

следовательно, по теореме сжатия

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0}$

Рекомендации

1. Сохраб, Хушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер. п. 104. ISBN  978-1-4939-1840-9.
2. Селим Г. Крейн, В. Ущакова: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013 г., ISBN  9783322986283, стр. 80-81 (Немецкий). Смотрите также Сал Хан: Доказательство: предел (sin x) / x при x = 0 (видео, Ханская академия )
3. Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Пределы и преемственность». Многопараметрическое исчисление (6-е изд.). С. 909–910. ISBN  0495011630.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о сжатии". MathWorld.
• Теорема сжатия Брюсом Этвудом (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга), Вольфрам Демонстрационный проект.
• Теорема сжатия на ProofWiki.