Поризм - Porism

А пористость математический предложение или же следствие. В частности, термин пористость используется для обозначения прямого следствия доказательства, аналогично тому, как следствие относится к прямому следствию доказательства. теорема. В современном использовании пористость это отношение, которое выполняется для бесконечного диапазона значений, но только если предполагается определенное условие, например Пористость Штейнера.^[1]Термин происходит из трех книг Евклида с поризмом, которые были утеряны. Обратите внимание, что утверждение могло не быть доказано, поэтому поризм может не быть теоремой, или, в этом отношении, он может быть неверным.

История

Начало

Трактат, породивший эту тему, - Поризмы из Евклид, автор Элементы. Все, что известно об этом утраченном трактате, связано с Коллекция из Папп Александрийский, который упоминает его наряду с другими геометрическими трактатами и приводит ряд леммы необходимо для понимания.^[2] Папп утверждает:

Поризмы всех классов не являются ни теоремами, ни проблемами, но занимают промежуточное положение между ними, так что их формулировки могут быть сформулированы либо как теоремы, либо как проблемы, и, следовательно, некоторые геометры думают, что они действительно теоремы, а другие - как проблемы. , руководствуясь исключительно формой произнесения. Но из определений ясно, что старые геометры лучше понимали разницу между тремя классами. Старшие геометры считали теорему направленной на доказательство того, что предлагается, проблему - как направленную на построение того, что предлагается, и, наконец, поризму - как направленную на поиск того, что предлагается (εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου).^[2]

Папп продолжает, что это последнее определение было изменено некоторыми более поздними геометрами, которые определяли пористость на основании случайной характеристики как «τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος" (leîpon hypothései topikoû theōrmatos), то, что не соответствует теореме локуса по гипотезе (или по ее). Прокл указывает, что слово пористость использовался в двух смыслах. Один смысл - это смысл «следствия», как бы непрошенного результата, но, как видно, вытекающего из теоремы. На пористость в другом смысле он ничего не добавляет к определению «древних геометров», кроме как сказать, что нахождение центра круга и нахождение наибольшей общей меры - это поризмы.^[3]^[2]

Папп о поризме Евклида

Папп полностью изложил поризму, заимствованную у Евклида, и распространил ее на более общий случай. Эта пористость, выраженная современным языком, утверждает следующее: если даны четыре прямые, из которых три поворачиваются вокруг точек, в которых они встречаются с четвертой, если две точки пересечения этих линий лежат каждая на фиксированной прямой, оставшиеся точка пересечения также будет лежать на другой прямой. Общее изложение применимо к любому количеству прямых линий, например п + 1, из которых п может повернуть примерно столько точек, зафиксированных на (п + 1) тыс. Эти п прямой разрез, два и два, в 1/2п(п - 1) балл, 1/2п(п - 1) треугольное число со стороной п - 1. Если тогда их заставят повернуть п неподвижные точки, так что любые п - 1 из их 1/2п(п - 1) точки пересечения, выбранные с определенным ограничением, лежат на п - 1 заданные фиксированные прямые, затем каждая из оставшихся точек пересечения, 1/2п(п − 1)(п - 2) в номере, описывает прямую линию. Папп также дает полное изложение одной пористости первой книги трактата Евклида.^[2]

Это можно выразить так: если около двух фиксированных точек P, Q мы повернем две прямые, пересекающиеся на заданной прямой L, и если одна из них отсекает отрезок AM от фиксированной прямой AX, заданной в положении, мы может определять другую фиксированную прямую BY и точку B, закрепленную на ней, так что отрезок BM ', образованный второй подвижной линией на этой второй фиксированной линии, измеренной от B, имеет заданное отношение X к первому отрезку AM. Остальные высказывания, данные Паппом, неполны, и он просто говорит, что дает тридцать восемь лемм для трех книг поризмов; и в их число входит 171 теорема. Леммы, которые Папп дает в связи с поризмами, интересны с исторической точки зрения, потому что он дает:

основная теорема о том, что крест или гармоническое отношение пучка четырех прямых, пересекающихся в одной точке, постоянно для всех трансверсалей;
доказательство гармонических свойств полного четырехугольника;
теорема о том, что если шесть вершин шестиугольника лежат три и три на двух прямых линиях, то три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.^[2]

С 17 по 19 века эта тема, кажется, очень увлекала математиков, и многие геометры пытались восстановить утраченные поризмы. Таким образом Альбер Жирар говорит в своем Traité de trigonometrie (1626), что он надеется опубликовать реставрацию. Примерно в то же время Пьер де Ферма написал небольшую работу под названием Porismatum euclidaeorum Renovata doctrina et sub forma isagoges Recentioribus geometeis Exposita (видеть Œuvres de Fermat, I., Париж, 1891); но по крайней мере два из пяти примеров поризмов, которые он приводит, не попадают в классы, указанные Паппом.^[4]

Поздний анализ

Роберт Симсон был первым, кто пролил свет на эту тему. Сначала ему удалось объяснить только три утверждения, которые Папп указывает с какой-либо полнотой. Это объяснение было опубликовано в Философские труды в 1723 году. Позже он исследовал вопрос о поризмах в целом в работе, озаглавленной De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab Oblivion tutam fore sperat auctor, и опубликовано после его смерти в томе, Опера Роберти Симсона quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.).^[4]

Трактат Симсона, De Porismatibus, начинается с определений теоремы, проблемы, данных, поризмы и локуса. Уважая пористость, Симсон говорит, что определение Паппа слишком общее, и поэтому он заменит его следующим:

"Porisma est propositio in qua proponitur демонстрация rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, удобном ostendendum est communectionem propositione descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data manifestranda sunt, invenienda proponantur ".

Локус (говорит Симсон) - это разновидность пористости. Затем следует латинский перевод заметки Паппа о поризмах и утверждениях, составляющих основную часть трактата. Это тридцать восемь лемм Паппа, относящихся к поризмам, десять случаев предложения о четырех прямых, двадцать девять поризмов, две проблемы в иллюстрации и некоторые предварительные леммы.^[4]

Джон Плейфэр мемуары (Пер. Рой. Soc. Един., 1794, т. iii.), своего рода продолжение трактата Симсона, особой целью было исследование вероятного происхождения поризмов, то есть шагов, которые привели древних геометров к их открытию. Плейфейр заметил, что тщательное исследование всех возможных частных случаев предложения покажет, что (1) при определенных условиях проблема становится невозможной; (2) при некоторых других условиях неопределенный или способный к бесконечному числу решений. Эти случаи можно было сформулировать отдельно, они были чем-то средним между теоремами и проблемами и назывались «поризмами». Playfair, соответственно, определил поризму следующим образом: «Предложение, подтверждающее возможность нахождения таких условий, которые сделают определенную проблему неопределенной или допускающей бесчисленные решения».^[4]

Хотя это определение пористости, по-видимому, наиболее популярно в Англии, точка зрения Симсона была наиболее общепринятой за рубежом и получила поддержку Мишель Часлес. Однако в Liouville с Journal de mathematiques pures et appliquées (т. XX, июль 1855 г.), П. Бретон опубликовано Новые поиски на порогах Евклида, в котором он дал новый перевод текста Паппа и попытался основать на нем взгляд на природу поризмы, более точно соответствующий определениям Паппа. Это было сделано в том же журнале и в La Science спором между Бретоном и А. Дж. Х. Винсент, который оспаривал толкование, данное первым из текста Паппа, и заявлял о себе в пользу идеи Шутена, выдвинутой в его Математические упражнения (1657), в котором он дает название «пористости» одному разделу. В соответствии с Франс ван Скутен, если различные соотношения между прямыми линиями на фигуре записаны в форме уравнений или пропорций, то сочетание этих уравнений всеми возможными способами и новых уравнений, выведенных из них, приводит к открытию бесчисленных новых свойств фигура, а вот и «поризмы».^[4]

Однако дискуссии между Бретоном и Винсентом, в которых К. Хаусель также присоединился, но не продвигал работу по восстановлению Поризмов Евклида, которые были оставлены Хаслесу. Его работа (Les Trois livres de porismes d'Euclide, Paris, 1860) полностью использует все материалы, найденные в Паппе. Но мы можем сомневаться в том, что это успешное воспроизведение реальной работы Евклида. Таким образом, ввиду вспомогательного отношения, в котором леммы Паппа обычно соотносятся с работами, на которые они ссылаются, кажется невероятным, что первые семь из тридцати восьми лемм должны быть действительно эквивалентны (как их делает Часлес) первым семи Поризмам Евклида. . Опять же, Часлес, кажется, ошибся, заставляя десять случаев четырехстрочного Поризма начинать книгу, а не перехватывающего Поризма, полностью провозглашенного Паппом, к которому "лемма о первом Поризме" понятным образом относится, будучи частным случай этого.^[4]

Интересную гипотезу о Поризмах выдвинул Х. Г. Цойтен (Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, 1886, гл. viii.). Наблюдая, например, что перехват-поризм по-прежнему верен, если две неподвижные точки являются точками на конике, а прямые линии, проведенные через них, пересекаются на конике, а не на фиксированной прямой, Цойтен предполагает, что Поризмы были -продукт полностью разработанной проективной геометрии коник. Это факт, что лемма 31 (хотя в ней не упоминается коника) в точности соответствует Аполлоний Метод определения фокусов центральной коники (Conics, III. 4547 с 42). Три поризмы, сформулированные Диофант в его Арифметика суждения теории чисел, которые все можно сформулировать в форме «мы можем найти числа, удовлетворяющие таким-то условиям»; поэтому они достаточно аналогичны геометрическому поризму, как он определен у Паппа и Прокл.^[4]

Смотрите также

Примечания

^ Евс, Ховард В. (1995). Геометрия колледжа. п. 138. ISBN 0867204753.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Хит 1911, п. 102.
^ Прокл, изд. Friedlein, p. 301
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Хит 1911, п. 103.