Неравенство Минковского - Minkowski inequality

Эта страница посвящена неравенству Минковского для норм. Видеть Первое неравенство Минковского для выпуклых тел для неравенства Минковского в выпуклой геометрии.

В математический анализ, то Неравенство Минковского устанавливает, что L^п пробелы находятся нормированные векторные пространства. Позволять S быть измерить пространство, позволять 1 ≤ п < ∞ и разреши ж и грамм быть элементами L^п(S). потом ж + грамм находится в L^п(S), и у нас есть неравенство треугольника

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

с равенством для 1 < п < ∞ если и только если ж и грамм положительно линейно зависимый, т.е. ж = λg для некоторых λ ≥ 0 или грамм = 0. Здесь норма определяется по формуле:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

если п <∞, или в случае п = ∞ существенный супремум

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$

Неравенство Минковского - это неравенство треугольника в L^п(S). Фактически, это частный случай более общего факта

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$

где, как легко видеть, правая часть удовлетворяет треугольному неравенству.

подобно Неравенство Гёльдера, неравенство Минковского может быть специализировано для последовательностей и векторов с помощью счетная мера:

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

для всех настоящий (или же сложный ) числа Икс₁, ..., Икс_п, у₁, ..., у_п и где п это мощность из S (количество элементов в S).

Неравенство названо в честь немецкого математика. Герман Минковски.

Доказательство

Сначала докажем, что ж+грамм имеет конечный п-норм, если ж и грамм оба делают, что следует

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$

Действительно, здесь мы используем тот факт, что ${\displaystyle h(x)=x^{p}}$ является выпуклый над р⁺ (за п > 1), а значит, по определению выпуклости

${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$

Это значит, что

${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$

Теперь мы можем законно говорить о ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$. Если он равен нулю, то неравенство Минковского выполнено. Предположим теперь, что ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$ не равно нулю. Используя неравенство треугольника, а затем Неравенство Гёльдера, мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$

Неравенство Минковского получаем, умножая обе части на

${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$

Интегральное неравенство Минковского

Предположим, что (S₁, μ₁) и (S₂, μ₂) два σ-пространства конечной меры и F: S₁ × S₂ → р измеримо. Тогда интегральное неравенство Минковского имеет вид (Штейн 1970, §A.1), (Харди, Литтлвуд и Поля 1988, Теорема 202) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHardyLittlewoodPólya1988 (Помогите):

${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),}$

с очевидными изменениями в случае п = ∞. Если п > 1, причем обе части конечны, то равенство выполняется, только если |F(Икс, у)| = φ(Икс)ψ(у) а.е. для некоторых неотрицательных измеримых функций φ и ψ.

Если μ₁ это счетная мера на двухточечном множестве S₁ = {1,2}, то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: полагая ж_я(у) = F(я, у) за я = 1, 2, интегральное неравенство дает

${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$

Эти обозначения были обобщены на

${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$

за ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E}$, с участием ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}}$. Используя эти обозначения, манипуляции с показателями степени показывают, что если ${\displaystyle p>q}$, тогда ${\displaystyle \|f\|_{p,q}\leq \|f\|_{q,p}}$.

Обратное неравенство

Когда ${\displaystyle p<1}$ выполняется обратное неравенство:

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

Далее нам нужно ограничение, что оба ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ неотрицательны, как видно из примера ${\displaystyle f=-1,g=1}$ и ${\displaystyle p=1}$: ${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}}$.

Обратное неравенство следует из того же аргумента, что и стандартное неравенство Минковского, но при использовании этого неравенства Гёльдера в этом диапазоне также происходит обратное. См. Также главу о неравенстве Минковского в ^[1].

Используя обратную формулу Минковского, мы можем доказать, что мощность означает с ${\displaystyle p\leq 1}$, такой как Гармоническое Среднее и Среднее геометрическое вогнутые.

Обобщения на другие функции

Неравенство Минковского можно обобщить на другие функции ${\displaystyle \phi (x)}$ за пределами степенной функции${\displaystyle x^{p}}$. Обобщенное неравенство имеет вид

${\displaystyle \phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i}))\leq \phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (x_{i}))+\phi ^{-1}(\sum _{i=1}^{n}\phi (y_{i}))}$

Различные достаточные условия на ${\displaystyle \phi }$ были найдены Малхолландом^[2] и другие.

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Малера
• Неравенство Гёльдера

Рекомендации

• Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Поля, Г. (1952). Неравенства. Кембриджская математическая библиотека (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9.
• Минковский, Х. (1953). "Geometrie der Zahlen". Челси. .
• Штейн, Элиас (1970). «Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций». Издательство Принстонского университета. .
• М.И. Войцеховский (2001) [1994], «Неравенство Минковского», Энциклопедия математики, EMS Press
• Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство». Отсутствует или пусто | url = (Помогите)

1. Буллен, Питер С. Справочник средств и их неравенства. Vol. 560. Springer Science & Business Media, 2013.
2. Малхолланд, Х. (1949). «Об обобщениях неравенства Минковского в виде треугольного неравенства». Труды Лондонского математического общества. s2-51 (1): 294–307. Дои:10.1112 / плмс / с2-51.4.294.