Первое неравенство Минковского для выпуклых тел - Minkowskis first inequality for convex bodies

В математика, Первое неравенство Минковского для выпуклых тел это геометрический результат из-за Немецкий математик Герман Минковски. Неравенство тесно связано с Неравенство Брунна – Минковского. и изопериметрическое неравенство.

Формулировка неравенства

Позволять K и L быть двумя п-размерный выпуклые тела в п-размерный Евклидово пространство р^п. Определите количество V₁(K, L) к

${\displaystyle nV_{1}(K,L)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon }},}$

куда V обозначает п-размерный Мера Лебега а + обозначает Сумма Минковского. потом

${\displaystyle V_{1}(K,L)\geq V(K)^{(n-1)/n}V(L)^{1/n},}$

с равенством если и только если K и L находятся гомотетичный, т.е. равны с точностью до перевод и расширение.

Замечания

• V₁ это всего лишь один пример класса величин, известных как смешанные объемы.
• Если L это п-размерный единичный мяч B, тогда п V₁(K, B) это (п - 1) -мерная поверхностная мера K, обозначенный S(K).

Связь с другими видами неравенства

Неравенство Брунна – Минковского.

Можно показать, что неравенство Брунна – Минковского для выпуклых тел в р^п следует первое неравенство Минковского для выпуклых тел в р^п, и что равенство в неравенстве Брунна – Минковского влечет равенство в первом неравенстве Минковского.

Изопериметрическое неравенство

Принимая L = B, то п-мерный единичный шар, в первом неравенстве Минковского для выпуклых тел получаем изопериметрическое неравенство для выпуклых тел в р^п: если K выпуклое тело в р^п, тогда

${\displaystyle \left({\frac {V(K)}{V(B)}}\right)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}{S(B)}}\right)^{1/(n-1)},}$

с равенством тогда и только тогда, когда K шар некоторого радиуса.

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.