Гармоническое среднее - Harmonic mean

В математика, то гармоническое среднее (иногда называют субподрядное среднее) является одним из нескольких видов средний, и, в частности, один из Пифагорейские средства. Как правило, это подходит для ситуаций, когда среднее значение тарифы желательно.

Гармоническое среднее может быть выражено как взаимный из среднее арифметическое обратных величин данного набора наблюдений. В качестве простого примера, гармоническое среднее для 1, 4 и 4 равно

${displaystyle left({frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}ight)^{-1}={frac {3}{{frac {1}{1}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{4}}}}={frac {3}{1.5}}=2,.}$

Определение

Гармоническое среднее ЧАС положительных действительные числа${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ определяется как

${displaystyle H={frac {n}{{frac {1}{x_{1}}}+{frac {1}{x_{2}}}+cdots +{frac {1}{x_{n}}}}}={frac {n}{sum limits _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}}}=left({frac {sum limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}ight)^{-1}.}$

Третья формула в приведенном выше уравнении выражает гармоническое среднее как обратное к среднему арифметическому обратных величин.

По следующей формуле:

${displaystyle H={frac {ncdot prod limits _{j=1}^{n}x_{j}}{sum limits _{i=1}^{n}left{{frac {1}{x_{i}}}{prod limits _{j=1}^{n}x_{j}}ight}}}.}$

более очевидно, что среднее гармоническое связано с арифметика и геометрические средства. Это взаимное двойной из среднее арифметическое для положительных входов:

${displaystyle 1/H(1/x_{1}ldots 1/x_{n})=A(x_{1}ldots x_{n})}$

Гармоническое среднее - это Шур-вогнутый функция, и доминирует минимум ее аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов, ${displaystyle min(x_{1}ldots x_{n})leq H(x_{1}ldots x_{n})leq nmin(x_{1}ldots x_{n})}$. Таким образом, гармоническое среднее нельзя сделать произвольно большой путем изменения некоторых значений на более крупные (при неизменном хотя бы одном значении).

Гармоническое среднее также вогнутый, что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура. Однако следует позаботиться об использовании только положительных чисел, поскольку среднее значение не может быть вогнутым, если используются отрицательные значения.

Отношения с другими средствами

Геометрический доказательство без слов который Максимум (а,б) > среднее квадратичное или же среднеквадратичное значение (QM) > среднее арифметическое (ЯВЛЯЮСЬ) > среднее геометрическое (GM) > гармоническое среднее (HM) > мин (а,б) двух положительных чисел а и б ^[1]

Среднее гармоническое - одно из трех Пифагорейские средства. Для всех положительный наборы данных содержащий хотя бы одну пару неравных значений, гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних,^[2] в то время как среднее арифметическое всегда величайший из трех и среднее геометрическое всегда находится посередине. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних всегда равны друг другу; например, гармонические, геометрические и арифметические средние для {2, 2, 2} - все 2.)

Это особый случай M₋₁ из среднее значение мощности:

${displaystyle Hleft(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}ight)=M_{-1}left(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}ight)={frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+cdots +x_{n}^{-1}}}}$

Поскольку гармоническое среднее значение списка чисел сильно стремится к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние больших выбросов и усугублять влияние мелких.

Среднее арифметическое часто по ошибке используется в местах, где требуется гармоническое среднее.^[3] В примере скорости ниже например, среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.

Гармоническое среднее связано с другими пифагоровыми средними, как показано в уравнении ниже. Это можно увидеть, интерпретировав знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел. п раз, но каждый раз опуская j-й семестр. То есть для первого члена умножаем все п числа кроме первого; на второй умножаем все п числа кроме второго; и так далее. В числителе, исключая п, который соответствует среднему арифметическому, является средним геометрическим в степенип. Таким образом п-я гармоническая средняя связана с п-ые геометрические и арифметические средства. Общая формула

${displaystyle Hleft(x_{1},ldots ,x_{n}ight)={frac {left(Gleft(x_{1},ldots ,x_{n}ight)ight)^{n}}{Aleft(x_{2}x_{3}cdots x_{n},x_{1}x_{3}cdots x_{n},ldots ,x_{1}x_{2}cdots x_{n-1}ight)}}={frac {left(Gleft(x_{1},ldots ,x_{n}ight)ight)^{n}}{Aleft({frac {1}{x_{1}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}},{frac {1}{x_{2}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}},ldots ,{frac {1}{x_{n}}}{prod limits _{i=1}^{n}x_{i}}ight)}}.}$

Если набор неидентичных номеров подвергается средний сохраняющий спред - то есть два или более элемента набора «разнесены» друг от друга, при этом среднее арифметическое значение остается неизменным - тогда гармоническое среднее всегда уменьшается.^[4]

Гармоническое среднее двух или трех чисел

Два числа

Геометрическая конструкция из трех Пифагорейские средства двух чисел, а и б. Гармоническое среднее обозначается ЧАС фиолетовым. Q обозначает четвертое среднее, среднее квадратичное. Поскольку гипотенуза всегда длиннее, чем ножка прямоугольный треугольник, из диаграммы видно, что Q > А > грамм > ЧАС.

В частном случае всего двух чисел ${displaystyle x_{1}}$ и ${displaystyle x_{2}}$, среднее гармоническое можно записать

${displaystyle H={frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}.}$

В этом частном случае гармоническое среднее связано с среднее арифметическое ${displaystyle A={frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ и среднее геометрическое ${displaystyle G={sqrt {x_{1}x_{2}}},}$ к

${displaystyle H={frac {G^{2}}{A}}=Gcdot left({frac {G}{A}}ight).}$

С ${displaystyle { frac {G}{A}}leq 1}$ посредством неравенство средних арифметических и геометрических, это показывает п = 2 случай, что ЧАС ≤ грамм (свойство, которое на самом деле выполняется для всех п). Отсюда также следует, что ${displaystyle G={sqrt {AH}}}$, что означает, что среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднему арифметическому и гармоническому.

Три числа

В частном случае трех чисел ${displaystyle x_{1}}$, ${displaystyle x_{2}}$ и ${displaystyle x_{3}}$, среднее гармоническое можно записать

${displaystyle H={frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Три положительных числа ЧАС, грамм, и А являются соответственно гармоническим, геометрическим и средним арифметическим трех положительных чисел если и только если^{[5]:стр.74, № 1834} выполняется следующее неравенство

${displaystyle {frac {A^{3}}{G^{3}}}+{frac {G^{3}}{H^{3}}}+1leq {frac {3}{4}}left(1+{frac {A}{H}}ight)^{2}.}$

Взвешенное гармоническое среднее

Если набор веса ${displaystyle w_{1}}$, ..., ${displaystyle w_{n}}$ связан с набором данных ${displaystyle x_{1}}$, ..., ${displaystyle x_{n}}$, то взвешенное гармоническое среднее определяется

${displaystyle H={frac {sum limits _{i=1}^{n}w_{i}}{sum limits _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=left({frac {sum limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{sum limits _{i=1}^{n}w_{i}}}ight)^{-1}.}$

Невзвешенное гармоническое среднее значение можно рассматривать как частный случай, когда все веса равны.

Примеры

В физике

Средняя скорость

Во многих ситуациях, связанных с тарифы и соотношения гармоническое среднее обеспечивает правильное средний. Например, если автомобиль проезжает определенное расстояние d исходящий со скоростью Икс (например, 60 км / ч) и возвращает то же расстояние со скоростью у (например, 20 км / ч), то его средняя скорость является гармоническим средним Икс и у (30 км / ч) - не среднее арифметическое (40 км / ч). Общее время в пути такое же, как если бы он проехал все расстояние с этой средней скоростью. Это можно доказать следующим образом:^[6]

Средняя скорость за весь путь = Общее пройденное расстояние/Сумма времени для каждого сегмента= 2d/d/Икс + d/у = 2/1/Икс+1/у

Однако, если автомобиль путешествует за определенную сумму время со скоростью Икс а затем столько же времени на скорости у, то его средняя скорость равна среднее арифметическое из Икс и у, которая в приведенном выше примере составляет 40 км / ч. Тот же принцип применяется к более чем двум сегментам: учитывая серию дополнительных поездок с разной скоростью, если каждая дополнительная поездка охватывает одно и то же расстояние, то средняя скорость равна гармонический среднее значение всех дополнительных скоростей поездки; и если каждая дополнительная поездка занимает одинаковую сумму время, то средняя скорость равна арифметика среднее значение всех дополнительных скоростей. (В противном случае взвешенное гармоническое среднее или же средневзвешенное арифметическое необходим. Для среднего арифметического скорость каждой части поездки взвешивается по продолжительности этой части, в то время как для гармонического среднего соответствующий вес - это расстояние. В обоих случаях полученная формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования гармонического среднего для случая «взвешивания по расстоянию». Задайте задачу найти «медленность» поездки, где «медленность» (в часах на километр) является обратной скоростью. Когда обнаруживается медленность поездки, инвертируйте ее, чтобы найти "истинную" среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i медленность s_я = 1 / скорость_я. Затем возьмите взвешенный среднее арифметическое из с_явзвешиваются по их соответствующим расстояниям (необязательно с нормализованными весами, чтобы они суммировались до 1 путем деления на длину пути). Это дает истинную среднюю медленность (по времени на километр). Оказывается, что эта процедура, которую можно выполнить без знания среднего гармонического, сводится к тем же математическим операциям, которые можно было бы использовать при решении этой проблемы с использованием среднего гармонического. Таким образом, это показывает, почему в данном случае работает среднее гармоническое.

Плотность

Аналогичным образом, если кто-то хочет оценить плотность сплав с учетом плотностей составляющих его элементов и их массовых долей (или, что то же самое, массовых процентов), тогда прогнозируемая плотность сплава (не считая обычно незначительных изменений объема из-за эффектов упаковки атомов) представляет собой взвешенное гармоническое среднее значение индивидуальных плотностей. , взвешенные по массе, а не по среднему арифметическому, как можно было сначала ожидать. Чтобы использовать средневзвешенное арифметическое значение, плотности должны быть взвешены по объему. Применение размерный анализ к проблеме, помечая единицы массы по элементам и убедившись, что отмена только одинаковых масс элементов делает это ясным.

Электричество

Если соединить два электрических резисторы параллельно один, имеющий сопротивление Икс (например, 60 Ω ) и один, имеющий сопротивление у (например, 40 Ом), тогда эффект будет таким же, как если бы использовались два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равны среднему гармоническому значению Икс и у (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом (половина гармонического среднего). Тот же принцип применим к конденсаторы последовательно или в индукторы в параллели.

Однако, если резисторы соединить последовательно, то среднее сопротивление будет средним арифметическим. Икс и у (с общим сопротивлением, равным сумме x и y). Этот принцип применяется к конденсаторы параллельно или с индукторы последовательно.

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется, когда подключено более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности, при условии, что все они включены параллельно или все включены последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений.^[7]

Оптика

Что касается других оптические уравнения, то уравнение тонкой линзы 1/ж = 1/ты + 1/v можно переписать так, чтобы фокусное расстояние ж составляет половину гармонического среднего расстояния до объекта ты и объект v от объектива.^[8]

В финансах

Средневзвешенное гармоническое среднее является предпочтительным методом для усреднения кратных величин, таких как соотношение цена / прибыль (P / E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического, высоким точкам данных присваивается больший вес, чем низким точкам данных. С другой стороны, взвешенное гармоническое среднее правильно взвешивает каждую точку данных.^[9] Простое взвешенное среднее арифметическое, применяемое к не нормализованным по цене коэффициентам, таким как P / E, смещено в сторону повышения и не может быть оправдано численно, поскольку оно основано на уравненной прибыли; так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше).^[10]

Например, рассмотрим две фирмы, одна из которых рыночная капитализация 150 миллиардов долларов и прибыль 5 миллиардов долларов (P / E 30) и один с рыночной капитализацией 1 миллиард долларов и прибылью 1 миллион долларов (P / E 1000). Рассмотрим индекс состоит из двух акций, при этом 30% инвестировано в первую и 70% - во вторую. Мы хотим рассчитать соотношение P / E этого индекса.

Используя средневзвешенное арифметическое значение (неверно):

${displaystyle P/E=0.3 imes 30+0.7 imes 1000=709}$

Используя взвешенное гармоническое среднее (правильное):

${displaystyle P/E={frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}approx 93.46}$

Таким образом, правильный P / E 93,46 этого индекса может быть найден только с использованием взвешенного гармонического среднего, в то время как взвешенное среднее арифметическое будет значительно его завышать.

В геометрии

В любом треугольник, радиус окружать составляет одну треть гармонического среднего значения высоты.

Для любой точки P на малая дуга До н.э. описанный круг из равносторонний треугольник ABC, с расстояниями q и т от B и C соответственно, а пересечение PA и BC находится на расстоянии у из точки P имеем у составляет половину гармонического среднего значения q и т.^[11]

В прямоугольный треугольник с ногами а и б и высота час от гипотенуза под прямым углом, час² составляет половину гармонического среднего значения а² и б².^[12][13]

Позволять т и s (т > s) быть сторонами двух вписанные квадраты в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. потом s² равняется половине гармонического среднего значения c² и т².

Пусть трапеция имеют последовательно вершины A, B, C и D и параллельны сторонам AB и CD. Пусть E - пересечение диагонали, и пусть F находится на стороне DA, а G находится на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC. (Это можно доказать, используя аналогичные треугольники.)

Скрещенные лестницы. час составляет половину гармонического среднего значения А и B

Одно из применений этого результата в виде трапеции - проблема скрещенных лестниц, где две лестницы лежат напротив друг друга поперек переулка, каждая из которых имеет ножки у основания одной боковой стены, а одна приставлена ​​к стене на высоте А а другой прислонился к противоположной стене на высоте B, как показано. Лестницы пересекаются на высоте час над полом переулка. потом час составляет половину гармонического среднего значения А и B. Этот результат сохраняется, если стены наклонены, но параллельны, а «высота» А, B, и час измеряются как расстояния от пола по линиям, параллельным стенам. Это можно легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площади.

В эллипс, то полу-латусная прямая кишка (расстояние от фокуса до эллипса по линии, параллельной малой оси) - это гармоническое среднее максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса.

В других науках

В Информатика, конкретно поиск информации и машинное обучение, гармоническое среднее точность (истинных положительных результатов на прогнозируемое положительное) и отзывать (истинных положительных результатов на реальное положительное) часто используется в качестве агрегированной оценки производительности для оценки алгоритмов и систем: F-оценка (или F-мера). Это используется при поиске информации, потому что только положительный класс имеет актуальность, а количество негативов, в целом, велико и неизвестно.^[14] Таким образом, это компромисс в отношении того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к количеству предсказанных положительных результатов или количеству реальных положительных результатов, поэтому он измеряется в сравнении с предполагаемым количеством положительных результатов, которое является средним арифметическим двух возможные знаменатели.

Следствие возникает из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают вместе. Например, если газовый насос может осушить бассейн за 4 часа, а насос с батарейным питанием может опорожнить тот же бассейн за 6 часов, тогда потребуются оба насоса. 6·4/6 + 4, что равно 2,4 часа, чтобы слить воду из бассейна. Это половина гармонического среднего числа 6 и 4: 2·6·4/6 + 4 = 4.8. Это подходящее среднее значение для двух типов насосов - это среднее гармоническое, и для одной пары насосов (двух насосов) требуется половина этого среднего времени гармоники, тогда как для двух пар насосов (четырех насосов) потребуется четверть времени. этого гармонического среднего времени.

В гидрология, гармоническое среднее аналогично используется для усреднения гидравлическая проводимость значения для потока, перпендикулярного слоям (например, геологического или грунтового) - для потока, параллельного слоям, используется среднее арифметическое. Эта очевидная разница в усреднении объясняется тем фактом, что в гидрологии используется проводимость, которая является обратной по отношению к удельному сопротивлению.

В саберметрика, игрок Мощность – число оборотов гармоническое среднее их домой бежать и украденная база итоги.

В популяционная генетика, гармоническое среднее используется при расчете влияния колебаний численности населения переписи на эффективную численность населения. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как население горлышко бутылки увеличить скорость генетического дрейфа и уменьшить количество генетических вариаций в популяции. Это результат того факта, что после возникновения узкого места очень немногие люди вносят вклад в Генофонд ограничение генетической изменчивости, присутствующей в популяции для многих будущих поколений.

При рассмотрении экономия топлива в автомобилях Обычно используются две меры - мили на галлон (миль на галлон) и литры на 100 км. Поскольку размеры этих величин являются обратными друг другу (один - это расстояние на объем, другой объем на расстояние), при взятии среднего значения экономии топлива для ряда автомобилей одна мера будет давать гармоническое среднее значение другого - то есть преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон, даст гармоническое среднее значение экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива автопарком из индивидуальных значений расхода топлива следует использовать среднее гармоническое, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если парк использует литры на 100 км. В США Стандарты CAFE (федеральные нормы расхода автомобильного топлива) используют среднее гармоническое.

В химия и ядерная физика средняя масса на одну частицу смеси, состоящей из различных компонентов (например, молекул или изотопов), дается гармоническим средним значением масс отдельных частиц, взвешенных по их соответствующей массовой доле.

Бета-распространение

Среднее гармоническое для бета-распределения для 0 <α <5 и 0 <β <5

(Среднее - HarmonicMean) для бета-распределения по сравнению с альфа- и бета-версиями от 0 до 2

Гармонические средние для бета-распределения Фиолетовый = H (X), желтый = H (1-X), впереди меньшие значения альфа и бета

Гармонические средние для бета-распределения Фиолетовый = H (X), желтый = H (1-X), большие значения альфа и бета впереди

Гармоническое среднее значение бета-распространение с параметрами формы α и β является:

${displaystyle H={frac {alpha -1}{alpha +eta -1}}{ ext{ conditional on }}alpha >1,,&,,eta >0}$

Гармоническое среднее с α <1 не определено, потому что его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Сдача α = β

${displaystyle H={frac {alpha -1}{2alpha -1}}}$

показывая это для α = β среднее гармоническое колеблется от 0 для α = β = 1, до 1/2 для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым), а другой параметр приближается к этим пределам:

${displaystyle {egin{aligned}lim _{alpha o 0}H&={ ext{ undefined }}lim _{alpha o 1}H&=lim _{eta o infty }H=0lim _{eta o 0}H&=lim _{alpha o infty }H=1end{aligned}}}$

В случае среднего геометрического гармоническое среднее может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае четырех параметров.

Среднее значение второй гармоники (ЧАС_{1 - Х}) также существует для этого распределения

${displaystyle H_{1-X}={frac {eta -1}{alpha +eta -1}}{ ext{ conditional on }}eta >1,,&,,alpha >0}$

Это гармоническое среднее с β <1 не определено, потому что его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Сдача α = β в приведенном выше выражении

${displaystyle H_{1-X}={frac {eta -1}{2eta -1}}}$

показывая это для α = β среднее гармоническое колеблется от 0, для α = β = 1, до 1/2, для α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${displaystyle {egin{aligned}lim _{eta o 0}H_{1-X}&={ ext{ undefined }}lim _{eta o 1}H_{1-X}&=lim _{alpha o infty }H_{1-X}=0lim _{alpha o 0}H_{1-X}&=lim _{eta o infty }H_{1-X}=1end{aligned}}}$

Хотя оба гармонических средних асимметричны, когда α = β два средства равны.

Логнормальное распределение

Гармоническое среднее ( ЧАС ) из логнормальное распределение является^[15]

${displaystyle H=exp left(mu -{frac {1}{2}}sigma ^{2}ight),}$

куда μ это среднее арифметическое и σ² - дисперсия распределения.

Гармонические и арифметические средние связаны соотношением

${displaystyle {frac {mu }{H}}=1+C_{v},,}$

куда C_v это коэффициент вариации.

Геометрический (грамм), арифметические и гармонические средние связаны соотношением^[16]

${displaystyle Hmu =G^{2}.}$

Распределение Парето

Гармоническое среднее типа 1 Распределение Парето является^[17]

${displaystyle H=kleft(1+{frac {1}{alpha }}ight)}$

куда k параметр масштаба и α - параметр формы.

Статистика

Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. Оба иметь в виду и отклонение может быть бесконечный (если он включает хотя бы один член формы 1/0).

Выборочные распределения среднего и дисперсии

Среднее значение выборки м асимптотически распределена нормально с дисперсией s².

${displaystyle s^{2}={frac {mleft[operatorname {E} left({frac {1}{x}}-1ight)ight]}{m^{2}n}}}$

Сама дисперсия среднего составляет^[18]

${displaystyle operatorname {Var} left({frac {1}{x}}ight)={frac {mleft[operatorname {E} left({frac {1}{x}}-1ight)ight]}{nm^{2}}}}$

куда м - среднее арифметическое обратных величин, Икс переменные, п это размер популяции и E - оператор ожидания.

Дельта-метод

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что Центральная предельная теорема применяется к образцу, затем с помощью дельта-метод, дисперсия

${displaystyle operatorname {Var} (H)={frac {1}{n}}{frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

куда ЧАС гармоническое среднее, м - среднее арифметическое обратных величин

${displaystyle m={frac {1}{n}}sum {frac {1}{x}}.}$

s² это дисперсия обратных величин данных

${displaystyle s^{2}=operatorname {Var} left({frac {1}{x}}ight)}$

и п - количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа

А складной нож метод оценки дисперсии возможен, если известно среднее значение.^[19] Это обычный метод удаления 1, а не вариант удаления m.

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки (м)

${displaystyle m={frac {n}{sum {frac {1}{x}}}}}$

куда Икс являются выборочными значениями.

Серия значений ш_я затем вычисляется, где

${displaystyle w_{i}={frac {n-1}{sum _{jeq i}{frac {1}{x}}}}.}$

Значение (час) из ш_я затем берется:

${displaystyle h={frac {1}{n}}sum {w_{i}}}$

Дисперсия среднего составляет

${displaystyle {frac {n-1}{n}}sum {(m-h)}^{2}.}$

Тестирование значимости и доверительные интервалы для среднего тогда можно оценить с помощью t тест.

Выборка со смещением размера

Предположим, что случайная переменная имеет распределение ж( Икс ). Предположим также, что вероятность того, что переменная будет выбрана, пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или размера.

Позволять μ быть средним населением. Тогда функция плотности вероятности ж*( Икс ) размера смещенной популяции

${displaystyle f^{*}(x)={frac {xf(x)}{mu }}}$

Ожидание этого смещенного по длине распределения E^*( Икс ) является^[18]

${displaystyle operatorname {E} ^{*}(x)=mu left[1+{frac {sigma ^{2}}{mu ^{2}}}ight]}$

куда σ² это дисперсия.

Ожидание гармонического среднего такое же, как и для версии E без смещения длины ( Икс )

${displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

Проблема выборки со смещением длины возникает в ряде областей, включая текстильное производство.^[20] родословный анализ^[21] и анализ выживаемости^[22]

Акман и другие. разработали тест для обнаружения систематической ошибки в выборках.^[23]

Сдвинутые переменные

Если Икс положительная случайная величина и q > 0 тогда для всех ε > 0^[24]

${displaystyle operatorname {Var} left[{frac {1}{(X+epsilon )^{q}}}ight]<operatorname {Var} left({frac {1}{X^{q}}}ight).}$

Моменты

При условии, что Икс и E (Икс)> 0, то^[24]

${displaystyle operatorname {E} left[{frac {1}{X}}ight]geq {frac {1}{operatorname {E} (X)}}}$

Это следует из Неравенство Дженсена.

Гурланд показал, что^[25] для распределения, которое принимает только положительные значения, для любых п > 0

${displaystyle operatorname {E} left(X^{-1}ight)geq {frac {operatorname {E} left(X^{n-1}ight)}{operatorname {E} left(X^{n}ight)}}.}$

При некоторых условиях^[26]

${displaystyle operatorname {E} (a+X)^{-n}sim operatorname {E} left(a+X^{-n}ight)}$

где ~ означает приблизительно.

Свойства выборки

Предполагая, что переменная (Икс) взяты из логнормального распределения, существует несколько возможных оценок для ЧАС:

${displaystyle {egin{aligned}H_{1}&={frac {n}{sum left({frac {1}{x}}ight)}}H_{2}&={frac {left(exp left[{frac {1}{n}}sum log _{e}(x)ight]ight)^{2}}{{frac {1}{n}}sum (x)}}H_{3}&=exp left(m-{frac {1}{2}}s^{2}ight)end{aligned}}}$

куда

${displaystyle m={frac {1}{n}}sum log _{e}(x)}$

${displaystyle s^{2}={frac {1}{n}}sum left(log _{e}(x)-might)^{2}}$

Из этих ЧАС₃ вероятно, лучшая оценка для выборок из 25 и более.^[27]

Оценщики смещения и дисперсии

Приближение первого порядка к предвзятость и дисперсия ЧАС₁ находятся^[28]

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {bias} left[H_{1}ight]&={frac {HC_{v}}{n}}operatorname {Var} left[H_{1}ight]&={frac {H^{2}C_{v}}{n}}end{aligned}}}$

куда C_v - коэффициент вариации.

Точно так же приближение первого порядка к смещению и дисперсии ЧАС₃ находятся^[28]

${displaystyle {egin{aligned}{frac {Hlog _{e}left(1+C_{v}ight)}{2n}}left[1+{frac {1+C_{v}^{2}}{2}}ight]{frac {Hlog _{e}left(1+C_{v}ight)}{n}}left[1+{frac {1+C_{v}^{2}}{4}}ight]end{aligned}}}$

В численных экспериментах ЧАС₃ обычно является более высокой оценкой среднего гармонического, чем ЧАС₁.^[28] ЧАС₂ дает оценки, которые во многом аналогичны ЧАС₁.

Примечания

В Агентство по охране окружающей среды рекомендует использовать гармоническое среднее значение при установке максимального уровня токсинов в воде.^[29]

В геофизических разработка месторождений В исследованиях широко используется гармоническое среднее.^[30]

Смотрите также

• Математический портал

• Контрагармоническое среднее
• Обобщенное среднее
• Номер гармоники
• Оценить (математика)
• Средневзвешенное значение
• Параллельное суммирование
• Среднее геометрическое
• Среднее геометрическое взвешенное
• HM-GM-AM-QM неравенства

Рекомендации

1. Если AC = а и BC = б. OC = ЯВЛЯЮСЬ из а и б, и радиус р = QO = OG.
   С помощью Теорема Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
   С помощью похожие треугольники, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.
2. Да-Фэн Ся, Сен-Линь Сюй и Фэн Ци, «Доказательство арифметических неравенств среднего геометрического среднего гармонического среднего», RGMIA Research Report Collection, vol. 2, вып. 1, 1999 г., http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf
3. *Статистический анализ, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN  0030730953
4. Митчелл, Дуглас В., «Подробнее о спредах и неарифметических средствах», Математический вестник 88, март 2004 г., стр. 142–144.
5. Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum ”, «Архивная копия» (PDF). В архиве (PDF) с оригинала на 2014-10-15. Получено 2014-09-09..
6. «Среднее: как вычислить среднее, формула, средневзвешенное значение». Learningpundits.com. В архиве из оригинала 29 декабря 2017 г.. Получено 8 мая 2018.
7. «Эффективная масса в полупроводниках». ecee.colorado.edu. Архивировано из оригинал 20 октября 2017 г.. Получено 8 мая 2018.
8. Hecht, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Эддисон Уэсли. п. 168. ISBN  978-0805385663.
9. «Мнения о справедливости: общие ошибки и упущения». Справочник по оценке бизнеса и анализа интеллектуальной собственности. Макгроу Хилл. 2004 г. ISBN  0-07-142967-0.
10. Агрравал, Панкадж; Боргман, Ричард; Кларк, Джон М .; Сильный, Роберт (2010). «Использование гармонического среднего отношения цены к прибыли для улучшения оценок фирмы». Журнал финансового образования. 36 (3–4): 98–110. JSTOR  41948650. SSRN  2621087.
11. Posamentier, Alfred S .; Залкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные задачи геометрии (Второе изд.). Дувр. п.172. ISBN  0-486-69154-3.
12. Воулс, Роджер, "Целочисленные решения ${displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
13. Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–; 317.
14. Ван Рийсберген, К. Дж. (1979). Поиск информации (2-е изд.). Баттерворт. В архиве из оригинала от 06.04.2005.
15. Эйчисон Дж, Браун Джеймс (1969). Логнормальное распределение с особым упором на его использование в экономике. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк
16. Россман Л.А. (1990) Расчет потоковых потоков на основе гармонических средних. J Hydr Eng ASCE 116 (7) 946–950
17. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения Том 1. Ряды Уайли в вероятности и статистике.
18. Zelen M (1972) Выборка со смещением длины и биомедицинские проблемы. В: Встреча биометрического общества, Даллас, Техас
19. Лам Ф.К. (1985) Оценка дисперсии среднего гармонического периода полураспада. J Pharm Sci 74 (2) 229-231
20. Cox DR (1969) Некоторые проблемы отбора проб в технологии. В: Новые разработки в выборке опросов. U.L. Джонсон, Х. Смит, ред. Нью-Йорк: Wiley Interscience
21. Давыдов О., Зелен М. (2001) Референтная выборка, семейный анамнез и относительный риск: роль выборки со смещением длины. Биостат 2 (2): 173-181 Дои:10.1093 / биостатистика / 2.2.173
22. Зелен М., Фейнлейб М. (1969) К теории скрининга хронических заболеваний. Биометрика 56: 601-614
23. Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) Простой тест для обнаружения выборки со смещением длины. J Biostats 1 (2) 189-195
24. Chuen-Teck See, Chen J (2008) Выпуклые функции случайных величин. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Статья 80
25. Гурланд Дж. (1967) Неравенство, удовлетворяемое ожиданием обратной величины случайной величины. Американский статистик. 21 (2) 24
26. Сунг Ш. (2010) Об обратных моментах для класса неотрицательных случайных величин. J Неравная заявка Дои:10.1155/2010/823767
27. Stedinger JR (1980) Подгонка логнормальных распределений к гидрологическим данным. Водные ресурсы Res 16 (3) 481–490
28. Лимбруннер JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Оценка гармонического среднего логнормальной переменной. Дж. Гидрол Двигатель 5 (1) 59-66 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2010-06-11. Получено 2012-09-16.
29. EPA (1991) Документ технической поддержки по контролю токсичных веществ на основе качества воды. EPA / 505 / 2-90-001. Управление воды
30. Маскат М. (1937) Течение однородной жидкости через пористую среду. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое среднее». MathWorld.
• Средние, арифметические и гармонические средние в завязать узел