Межквартильный размах - Interquartile range

Boxplot (с межквартильным размахом) и функция плотности вероятности (pdf) Нормального N (0, σ²) численность населения

В описательная статистика, то межквартильный размах (IQR), также называемый средний, средний 50%, или же H ‑ спред, является мерой статистическая дисперсия, равное разнице между 75-м и 25-м процентили, или между верхним и нижним квартили,^[1][2] IQR = Q₃ −  Q₁. Другими словами, IQR - это первый квартиль, вычтенный из третьего квартиля; эти квартили хорошо видны на коробчатый сюжет по данным. Это усеченная оценка, определяемый как обрезанный на 25% классифицировать, и обычно используется надежная мера масштаба.

IQR - это показатель изменчивости, основанный на разделении набора данных на квартили. Квартили делят упорядоченный набор данных на четыре равные части. Значения, разделяющие части, называются первым, вторым и третьим квартилями; и обозначаются Q1, Q2 и Q3 соответственно.

Использовать

В отличие от всего классифицировать межквартильный размах имеет точка разрушения 25%,^[3] и поэтому часто предпочтительнее всего диапазона.

IQR используется для построения коробчатые участки, простые графические представления распределение вероятностей.

IQR используется в компаниях как маркер для их доход тарифы.

Для симметричного распределения (где медиана равна середина, среднее значение первого и третьего квартилей), половина IQR равна среднее абсолютное отклонение (СУМАСШЕДШИЙ).

В медиана соответствующая мера основная тенденция.

IQR можно использовать для идентификации выбросы (видеть ниже ).

Квартильное отклонение или полумежквартильный диапазон определяется как половина IQR.^[4][5]

Алгоритм

IQR набора значений рассчитывается как разница между верхним и нижним квартилями Q₃ и Q₁. Каждый квартиль - это медиана^[6] рассчитывается следующим образом.

Учитывая даже 2n или странно 2n + 1 количество значений

первый квартиль Q₁ = медиана п наименьшие значения

третий квартиль Q₃ = медиана п наибольшие значения^[6]

В второй квартиль Q₂ такое же, как и обычная медиана.^[6]

Примеры

Набор данных в таблице

Следующая таблица состоит из 13 строк и соответствует правилам для нечетного количества записей.

я	х [я]	Медиана	Квартиль
1	7	Q2=87 (медиана всей таблицы)	Q1=31 (медиана верхней половины, с 1 по 6 ряды)
2	7
3	31
4	31
5	47
6	75
7	87
8	115
			Q3=119 (медиана нижней половины с 8 по 13 ряды)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

Для данных в этой таблице межквартильный размах составляет IQR = Q₃ - Q₁ = 119 - 31 = 88.

Набор данных в виде обычного текстового поля

                                                 + −−−−− + - + * | −−−−−−−−−−−− | | | −−−−−−−−−−− | + −−−−− + - + + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + числовая строка 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Для набора данных в этом коробчатый сюжет:

• нижний (первый) квартиль Q₁ = 7
• медиана (второй квартиль) Q₂ = 8.5
• верхний (третий) квартиль Q₃ = 9
• межквартильный размах, IQR = Q₃ - Q₁ = 2
• ниже 1,5 * IQR усы = Q₁ - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Если нет точки данных в 4, то самая низкая точка больше 4.)
• верхний 1,5 * IQR усы = Q₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Если нет точки данных на 12, то наивысшая точка меньше 12.)

Это означает, что усы 1,5 * IQR могут быть неодинаковой длины.

Распределения

Межквартильный размах непрерывного распределения можно рассчитать путем интегрирования функция плотности вероятности (что дает кумулятивная функция распределения - также будут работать любые другие способы расчета CDF). Нижний квартиль, Q₁, - такое число, что интеграл PDF от -∞ до Q₁ равно 0,25, а верхний квартиль Q₃, такое число, что интеграл от -∞ до Q₃ равно 0,75; в терминах CDF квартили можно определить следующим образом:

${displaystyle Q_{1}={ ext{CDF}}^{-1}(0.25),}$

${displaystyle Q_{3}={ ext{CDF}}^{-1}(0.75),}$

где CDF⁻¹ это квантильная функция.

Межквартильный размах и медиана некоторых распространенных распределений показаны ниже.

Распределение	Медиана	IQR
Нормальный	μ	2 Φ^−1(0,75) σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20) σ
Лаплас	μ	2б ln (2) ≈ 1,386б
Коши	μ	2γ

Тест межквартильного размаха на нормальность распределения

IQR, иметь в виду, и стандартное отклонение населения п можно использовать для простой проверки того, действительно ли п является нормально распределенный, или по Гауссу. Если п нормально распределяется, то стандартная оценка первого квартиля, z₁, составляет -0,67, а стандартная оценка третьего квартиля, z₃, составляет +0,67. Данный иметь в виду = Икс и стандартное отклонение = σ для п, если п нормально распределяется, первый квартиль

${displaystyle Q_{1}=(sigma ,z_{1})+X}$

и третий квартиль

${displaystyle Q_{3}=(sigma ,z_{3})+X}$

Если фактические значения первого или третьего квартилей существенно различаются^{[требуется разъяснение ]} из расчетных значений, п не распространяется нормально. Однако нормальное распределение можно тривиально изменить, чтобы сохранить его Q1 и Q2 std. баллы 0,67 и -0,67 и не имеют нормального распределения (так что вышеупомянутый тест даст ложноположительный результат). Лучшая проверка нормальности, например График Q-Q здесь будет указано.

Выбросы

Прямоугольный сюжет с четырьмя умеренными выбросами и одним экстремальным выбросом. На этом графике выбросы определяются как умеренные, выше Q3 + 1,5 IQR, и как экстремальные, выше Q3 + 3 IQR.

Межквартильный размах часто используется для определения выбросы в данных. Выбросы здесь определяются как наблюдения, которые падают ниже Q1 - 1,5 IQR или выше Q3 + 1,5 IQR. На диаграмме высшее и наименьшее значения в пределах этого предела обозначены усы коробки (часто с дополнительной полосой на конце уса) и любые выбросы как отдельные точки.

Смотрите также

• Interdecile диапазон
• Midhinge
• Надежные меры масштаба

Рекомендации

1. Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики. Издательство Оксфордского университета. п. 55. ISBN  0-19-914391-9.
2. Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы, CRC Press. ISBN  1-58488-059-7 стр.18.
3. Rousseeuw, Peter J .; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные шкалы для оценки с высокой точкой пробоя» (PDF). L1-Статистический анализ и связанные методы. Амстердам: Северная Голландия. С. 77–92.
4. Юль, Г. Удный (1911). Введение в теорию статистики. Чарльз Гриффин и компания. стр.147 –148.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Квартильное отклонение». MathWorld.
6. Bertil., Westergren (1988). Справочник по бета [бета] математике: концепции, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы. Студент. п. 348. ISBN  9144250517. OCLC  18454776.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Межквартильный размах в Wikimedia Commons