Контрагармоническое среднее - Contraharmonic mean

В математике контргармоническое среднее является функцией, дополнительной к гармоническое среднее. Противогармонический иметь в виду это особый случай из Лемер среднее, ${displaystyle L_{p}}$, где p = 2.

Определение

Контрагармоническое среднее набора положительных чисел определяется как среднее арифметическое квадратов чисел, разделенных на среднее арифметическое чисел:

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {C} left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}ight)&={{1 over n}left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}ight) over {1 over n}left(x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}ight)},[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}} over {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}}}.end{aligned}}}$

Характеристики

Легко показать, что это удовлетворяет характерным свойствам иметь в виду:

• ${displaystyle operatorname {C} left(x_{1},x_{2},,dots ,,x_{n}ight)in left[min left(x_{1},x_{2},,dots ,,x_{n}ight),,max left(x_{1},x_{2},,dots ,,x_{n}ight)ight]}$
• ${displaystyle operatorname {C} left(tcdot x_{1},tcdot x_{2},,dots ,,tcdot x_{n}ight)=tcdot Cleft(x_{1},x_{2},,dots ,,x_{n}ight){ ext{ for }}t>0}$

Из первого свойства следует свойство фиксированной точки, что для всех k > 0,

C(k, k, …, k) = k

Среднее значение контрагармоники выше, чем среднее арифметическое а также выше, чем среднеквадратичное значение:

${displaystyle min(mathbf {x} )leq operatorname {H} (mathbf {x} )leq operatorname {G} (mathbf {x} )leq operatorname {L} (mathbf {x} )leq operatorname {A} (mathbf {x} )leq operatorname {R} (mathbf {x} )leq operatorname {C} (mathbf {x} )leq max(mathbf {x} )}$

куда Икс это список значений, ЧАС гармоническое среднее, грамм является среднее геометрическое, L это логарифмическое среднее, А это среднее арифметическое, р это среднеквадратичное значение и C является контргармоническим средним. Если все значения Икс одинаковы, знаки â ‰ ¤ выше можно заменить на <.

Название контрагармонический может быть связано с тем, что при взятии среднего только двух переменных контргармоническое среднее оказывается выше среднее арифметическое поскольку среднее арифметическое выше среднего гармонического (т. е. среднее арифметическое двух переменных равно среднему арифметическому их гармонических и контргармонических средних).

Формулы с двумя переменными

Из формул для среднего арифметического и гармонического среднего двух переменных имеем:

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {A} (a,b)&={{a+b} over 2}operatorname {H} (a,b)&={1 over {{1 over 2}cdot {left({1 over a}+{1 over b}ight)}}}={{2ab} over {a+b}}operatorname {C} (a,b)&=2cdot A(a,b)-H(a,b)&=a+b-{{2ab} over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} over {a+b}}&={{a^{2}+b^{2}} over {a+b}}end{aligned}}}$

Обратите внимание, что для двух переменных среднее значение гармонических и контргармонических средних в точности равно среднему арифметическому:

А(ЧАС(а, б), C(а, б)) = А(а, б)

В качестве а становится ближе к 0, тогда ЧАС(а, б) также приближается к 0. Среднее гармоническое значение очень чувствительно к низким значениям. С другой стороны, контргармоническое среднее чувствительно к большим значениям, так что а приближается к 0, тогда C(а, б) подходы б (так что их среднее значение остаетсяА(а, б)).

Между средними с двумя переменными есть еще две примечательные связи. Во-первых, среднее геометрическое среднего арифметического и гармонического равно среднему геометрическому двух значений:

${displaystyle operatorname {G} (operatorname {A} (a,b),operatorname {H} (a,b))=operatorname {G} left({{a+b} over 2},{{2ab} over {a+b}}ight)={sqrt {{{a+b} over 2}cdot {{2ab} over {a+b}}}}={sqrt {ab}}=operatorname {G} (a,b)}$

Второе соотношение состоит в том, что среднее геометрическое арифметических и контргармонических средних является среднеквадратическим:

${displaystyle {egin{aligned}&operatorname {G} left(operatorname {A} (a,b),operatorname {C} (a,b)ight)={}operatorname {G} left({{a+b} over 2},{{a^{2}+b^{2}} over {a+b}}ight)={}&{sqrt {{{a+b} over 2}cdot {{a^{2}+b^{2}} over {a+b}}}}={}{sqrt {{a^{2}+b^{2}} over 2}}[2pt]={}&operatorname {R} (a,b)end{aligned}}}$

Контрагармоническое среднее двух переменных может быть построено геометрически с помощью трапеции (см. [1] ).

Дополнительные конструкции

Контрагармоническое среднее можно построить на окружности аналогично тому, как Пифагорей означает двух переменных. Контрагармоническое среднее - это остаток диаметра, на котором лежит гармоническое среднее.

Характеристики

Противогармоническое среднее случайной величины равно сумме среднего арифметического и отклонение делится на среднее арифметическое.^[1] Поскольку дисперсия всегда равна â ‰ ¥ 0, контргармоническое среднее всегда больше или равно среднему арифметическому.

Отношение дисперсии к среднему было предложено Клэпхэмом в качестве тестовой статистики.^[2] Эта статистика представляет собой среднее значение контрагармонии за вычетом единицы.

Это также связано со статистикой Каца.^[3]

${displaystyle J_{n}={sqrt {frac {n}{2}}}{frac {s^{2}-m}{m}}}$

куда м это среднее, s² дисперсия и п размер выборки.

J_п асимптотически нормально распределена со средним нулем и дисперсией 1.

Использование в статистике

Проблема смещения образца по размеру обсуждалась Коксом в 1969 году при отборе образцов волокон. В ожидание размер смещенной выборки равен ее контргармоническому среднему.^[4]

Вероятность отбора пробы из волокна пропорциональна его длине. Из-за этого обычное выборочное среднее (среднее арифметическое) является смещенной оценкой истинного среднего. Чтобы увидеть это, подумайте

${displaystyle g(x)={frac {xf(x)}{m}}}$

куда ж(Икс) - истинное распределение населения, грамм(Икс) - взвешенное по длине распределение, а м - выборочное среднее. Взятие обычного математического ожидания среднего здесь дает контргармоническое среднее, а не обычное (арифметическое) среднее значение выборки. Эту проблему можно решить, взяв вместо этого математическое ожидание гармонического среднего (1 /Икс). Математическое ожидание и дисперсия 1 /Икс находятся

${displaystyle operatorname {E} left[{frac {1}{x}}ight]={frac {1}{m}}}$

и имеет дисперсию

${displaystyle operatorname {Var} left({frac {1}{x}}ight)={frac {mEleft[{frac {1}{x}}-1ight]}{nm^{2}}}}$

где E [] - оператор математического ожидания. Асимптотически E [1 /Икс] распространяется нормально.

Асимптотическая эффективность выборки со смещением длины зависит по сравнению со случайной выборкой от основного распределения. если ж(Икс) является журнал нормальный эффективность равна 1, а если популяция гамма распределенная с индексом б, эффективность б/(б − 1).

Это распределение использовалось в нескольких областях.^[5][6]

Он использовался при анализе изображений.^[7]

История

Противогармоническое среднее было открыто греческим математиком. Евдокс в 4 веке до нашей эры.

Смотрите также

• Гармоническое среднее
• Лемер среднее
• Пифагорейские средства

Рекомендации

1. Kingley MSC (1989) Распределение извлеченных кольчатых нерп - интерпретация закона Тейлора. Экология 79: 106-110
2. Clapham AR (1936) Чрезмерная дисперсия в сообществах пастбищ и использование статистических методов в экологии растений. Дж. Экол 14: 232
3. Katz L (1965) Объединенная трактовка широкого класса дискретных распределений вероятностей. в Материалы международного симпозиума по дискретным распределениям. Монреаль
4. Zelen M (1972) Выборка со смещением длины и биомедицинские проблемы. На собрании биометрического общества, Даллас, Техас
5. Кейлор Б.Д., Д'Амико М. и Хортон В. (2001) Глобальные потребительские тенденции. Психология и маркетинг 18 (1) 1-19
6. Судман (1980) Методы выборки квот и процедуры взвешивания для коррекции частотного смещения
7. Патхак М., Сингх С. (2014) Сравнительный анализ методов шумоподавления изображений. Международный журнал компьютерных наук и инженерных технологий 5 (2) 160-167

• Эссе № 3 - Некоторые "средние" трапеции, Шеннон Амбергер: [2]
• Построение контрагармонического среднего в трапеции: [3]
• Средства в трапеции: [4]
• Средство комплексных чисел: [5]
• Доказательства без слов / упражнения в визуальном мышлении, Роджер Б. Нельсен, стр. 56, ISBN  0-88385-700-6
• Пифагорейские средства: [6] (протяните сегмент, представляющий среднее значение гармоники, через центр круга на другую сторону, создав диаметр. Длина сегмента диаметра после сегмента гармоники является средним контргармоническим.)
• Пахиккала, Юсси (2010), О контргармонических средних и пифагоровых троек, Elemente der Mathematik 65 (2): 62–67.

внешняя ссылка

• Контрагармоническая пропорция в PlanetMath.org.