Трехмерный график, показывающий значения среднего логарифмического значения.
В математика, то логарифмическое среднее это функция двух неотрицательных числа что равно их разница разделенный на логарифм от их частное. Этот расчет применим в инженерное дело проблемы, связанные с высокая температура и массообмен.
Определение
Среднее логарифмическое значение определяется как:
![{displaystyle {egin {align} M_ {ext {lm}} (x, y) & = lim _ {(xi, eta) o (x, y)} {frac {eta -xi} {ln (eta) -ln (xi)}} [6pt] & = {egin {case} x & {ext {if}} x = y, {frac {yx} {ln (y) -ln (x)}} & {ext {иначе ,}} конец {случаи}} конец {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b45ba94901cfc8fc47565d4b9212ab83ff1e02)
для положительных чисел
.
Неравенства
Среднее логарифмическое значение двух чисел меньше, чем среднее арифметическое и обобщенное среднее с показателем в одну треть, но больше, чем среднее геометрическое, если числа не совпадают, и в этом случае все три средних значения равны числам.
[1][2][3]
Вывод
Теорема о среднем значении дифференциального исчисления
От теорема о среднем значении, Существует ценность
в интервал между Икс и у где производная
равняется наклону секущая линия:
![{displaystyle существует xi в (x, y): f '(xi) = {frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240b7233e1532c982e8146527e774e4842bb7e98)
Среднее логарифмическое значение получается как значение
путем замены
за
и аналогично для соответствующего производная:
![{displaystyle {frac {1} {xi}} = {frac {ln (x) -ln (y)} {x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb5f729a00dbfb975d128a85ad82e8b23335ece)
и решение для
:
![{displaystyle xi = {гидроразрыв {x-y} {ln (x) -ln (y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1359d872557a3634c4ff7280c1bf65b53375a348)
Интеграция
Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как площадь под экспоненциальная кривая.
![{displaystyle {egin {align} L (x, y) = {} & int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} mathrm {d} t = {} int _ {0} ^ {1} left ({frac {y} {x}} ight) ^ {t} x mathrm {d} t = {} xint _ {0} ^ {1} left ({frac {y} {x}} ight) ^ {t} mathrm {d} t [3pt] = {} & left. {frac {x} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} left ({frac {y} { x}} ight) ^ {t} ight | _ {t = 0} ^ {1} = {} {frac {x} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} left ({frac {y} {x}} - 1ight) = {} {frac {yx} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} [3pt] = {} & {frac {yx} {ln left (yight) -ln left (xight)}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834a3d1b2267cb6d782f1542ced8616b209e17c0)
Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспоненциальная функция равна монотонный, интеграл на отрезке длины 1 ограничен величиной
и
. В однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, т.е.
.
Два других полезных интегральных представления:
![{displaystyle {1 over L (x, y)} = int _ {0} ^ {1} {operatorname {d}! t over tx + (1-t) y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e315df34bb25eb36d700416a40e257680eb886)
и
![{displaystyle {1 over L (x, y)} = int _ {0} ^ {infty} {operatorname {d}! t over (t + x), (t + y)}.}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e47424e801bede13f5623bd45fd5bd956a1638)
Обобщение
Теорема о среднем значении дифференциального исчисления
Можно обобщить среднее значение на
переменных, учитывая Теорема о среднем значении для разделенных разностей для
th производная логарифма.
Мы получаем
![{displaystyle L_ {ext {MV}} (x_ {0} ,, точки ,, x_ {n}) = {sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1)} nln влево (слева [x_ {0} ,, точки ,, x_ {n} ight] ight)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f768d4332d13acc1ed2bef32032c7fd92c84bc)
где
обозначает разделенная разница логарифма.
За
это ведет к
.
интеграл
Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Учитывая симплекс
с
и соответствующая мера
что придает симплексу объем 1, получаем
![{displaystyle L_ {ext {I}} left (x_ {0} ,, dots ,, x_ {n} ight) = int _ {S} x_ {0} ^ {alpha _ {0}} cdot, cdots, cdot x_ {n} ^ {alpha _ {n}} mathrm {d} alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dfb505a3727838fea75a9e6ba6ed0c02b476de)
Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции, чтобы
.
пример ![{extstyle n = 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac7fde36a8dd5bff859b7107ed4a64414077430)
.
Подключение к другим средствам
- Среднее арифметическое:
![{displaystyle {frac {Lleft (x ^ {2}, y ^ {2} ight)} {L (x, y)}} = {frac {x + y} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c06861480a6c5187a47456f6c8e40131b28221)
- Среднее геометрическое:
![{displaystyle {sqrt {frac {Lleft (x, yight)} {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)}}} = {sqrt {xy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08c1b327b45334589388c014acd88636ffb38cd)
- Гармоническое среднее:
![{displaystyle {frac {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)} {Lleft ({frac {1} {x ^ {2}}}, {frac {1 } {y ^ {2}}} ight)}} = {frac {2} {{frac {1} {x}} + {frac {1} {y}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade0d1129462abd2347ec27d83a2cd14f6e08c01)
Смотрите также
использованная литература
- Цитаты
- Список используемой литературы