Пифагорейские средства - Pythagorean means

Геометрическое построение среднего квадратичного и среднего Пифагора (двух чисел а и б). Гармоническое среднее обозначается   ЧАС, геометрическая по   грамм, арифметика   А и среднее квадратичное (также известное как среднеквадратичное значение ) обозначается   Q.

Сравнение средних арифметических, геометрических и гармонических пар чисел. Вертикальные пунктирные линии - асимптоты для гармонических средств.

В математике три классических Пифагорейские средства являются среднее арифметическое (AM), среднее геометрическое (GM), а гармоническое среднее (HM). Эти средства были изучены с пропорциями Пифагорейцы и более поздние поколения греческих математиков^[1] из-за их важности в геометрии и музыке.

Определение

Они определяются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$

Характеристики

Каждое означает, ${\textstyle \operatorname {M} }$, имеет следующие свойства:

Первый заказ однородность

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Инвариантность при обмене

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

для любого ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$.

Монотонный

${\displaystyle a<b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})<\operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

Идемпотентность

${\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}$

Монотонность и идемпотентность вместе означают, что среднее значение набора всегда находится между крайними точками набора.

${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Гармонические и арифметические средние являются взаимными двойниками друг друга для положительных аргументов:

${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}}$

в то время как среднее геометрическое само по себе является двойственным:

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}}$

Неравенство средств

Геометрический доказательство без слов который Максимум (а,б) > среднее квадратичное или же среднеквадратичное значение (QM) > среднее арифметическое (ЯВЛЯЮСЬ) > среднее геометрическое (GM) > гармоническое среднее (HM) > мин (а,б) двух положительных чисел а и б ^[2]

У этих средств есть заказ (если все ${\displaystyle x_{i}}$ положительные)

${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$

с равенством выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{i}}$ все равны.

Это обобщение неравенство средних арифметических и геометрических и частный случай неравенства для обобщенные средства. Доказательство следует из среднее арифметико-геометрическое неравенство, ${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$, и взаимная двойственность (${\displaystyle \min }$ и ${\displaystyle \max }$ также взаимно двойственны друг другу).

Изучение пифагорейских средних тесно связано с изучением мажоризация и Шура-выпуклые функции. Гармонические и геометрические средние являются вогнутыми симметричными функциями своих аргументов и, следовательно, вогнутыми по Шуру, в то время как среднее арифметическое является линейной функцией своих аргументов, то есть как вогнутыми, так и выпуклыми.

Смотрите также

• Среднее арифметико-геометрическое
• Средний
• Золотое сечение

Рекомендации

1. Хит, Томас. История древнегреческой математики.
2. Если AC = а и BC = б. OC = ЯВЛЯЮСЬ из а и б, и радиус р = QO = OG.
   С помощью Теорема Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
   С помощью похожие треугольники, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

внешняя ссылка

• Кантрелл, Дэвид В. «Пифагорейские средства». MathWorld.