Выпуклая функция Шура - Schur-convex function

В математике Выпуклая функция Шура, также известный как S-выпуклый, изотоническая функция и функция сохранения порядка это функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R}}$ это для всех ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {d}}$ такой, что ${ displaystyle x}$ является мажоритарный к ${ displaystyle y}$ , есть это ${ Displaystyle f (x) leq f (y)}$ . Названный в честь Иссай Шур, Выпуклые функции Шура используются при изучении мажоризация. Каждая функция, которая выпуклый и симметричный также является выпуклым по Шуру. Противоположный значение неверно, но все выпуклые по Шуру функции симметричны (относительно перестановок аргументов).^[1]

Вогнутая функция Шура

Функция ж является 'Schur-вогнутым', если его отрицательное значение, -ж, является выпуклым по Шуру.

Критерий Шура-Островского

Если ж симметричен и все первые частные производные существуют, то ж выпукло по Шуру тогда и только тогда, когда

${ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) left ({ frac { partial f} { partial x_ {i}}} - { frac { partial f} { partial x_ {j}) }} right) geq 0}$ для всех ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {d}}$

выполняется для всех 1≤я≠j≤d.^[2]

Примеры

${ Displaystyle е (х) = мин (х)}$ Шуровогнутая, а ${ Displaystyle е (х) = макс (х)}$ является выпуклым по Шуру. Это видно прямо из определения.
В Энтропия Шеннона функция ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {d} {P_ {i} cdot log _ {2} { frac {1} {P_ {i}}}}}$ Шуровогнутая.
В Энтропия Реньи функция также Шур-вогнутая.
${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}, k geq 1}$ Шур-выпуклый.
Функция ${ Displaystyle е (х) = прод _ {я = 1} ^ {п} х_ {я}}$ Шур-вогнутая, если предположить, что все ${ displaystyle x_ {i}> 0}$ . Таким же образом все Элементарные симметричные функции Шуровогнутые, когда ${ displaystyle x_ {i}> 0}$ .
Естественная интерпретация мажоризация это если ${ displaystyle x succ y}$ тогда ${ displaystyle x}$ менее распространен, чем ${ displaystyle y}$ . Поэтому естественно спросить, являются ли статистические меры изменчивости выпуклыми по Шуру. В отклонение и стандартное отклонение - выпуклые по Шуру функции, а Среднее абсолютное отклонение не является.
Если ${ displaystyle g}$ - выпуклая функция, определенная на вещественном интервале, то ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п} г (х_ {я})}$ является выпуклым по Шуру.
Пример вероятности: если ${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n}}$ находятся заменяемые случайные величины, то функция ${ displaystyle { text {E}} prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}}}$ выпукла по Шуру как функция ${ Displaystyle а = (а_ {1}, точки, а_ {п})}$ , предполагая, что ожидания существуют.
В Коэффициент Джини строго выпукло по Шуру.