Неравенство Дженсенса - Jensens inequality

По поводу неравенства Йенсена для аналитических функций см. Формула Дженсена.

Неравенство Дженсена обобщает утверждение о том, что секущая выпуклой функции лежит над графиком.

Воспроизвести медиа

Визуализация выпуклости и неравенства Дженсена

В математика, Неравенство Дженсена, названный в честь датского математика Йохан Йенсен, связывает значение выпуклая функция из интеграл интегралу от выпуклой функции. Это было доказано Дженсеном в 1906 году.^[1] Учитывая его общность, неравенство проявляется во многих формах в зависимости от контекста, некоторые из которых представлены ниже. В своей простейшей форме неравенство утверждает, что выпуклое преобразование среднего меньше или равно среднему значению, примененному после выпуклого преобразования; это простое следствие, что обратное верно для вогнутых преобразований.

Неравенство Дженсена обобщает утверждение, что секущая линия выпуклой функции лежит над график функции, который является неравенством Йенсена для двух точек: секущая состоит из взвешенных средних значений выпуклой функции (для т ∈ [0,1]),

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

в то время как график функции является выпуклой функцией взвешенных средних,

${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right).}$

Таким образом, неравенство Дженсена

${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

В контексте теория вероятности, обычно это формулируется в следующей форме: если Икс это случайная переменная и φ - выпуклая функция, то

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

Разница между двумя сторонами неравенства, ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}$, называется Дженсен Гэп.^[2]

Заявления

Классическая форма неравенства Дженсена включает несколько чисел и весов. Неравенство может быть сформулировано в самом общем виде, используя любой язык теория меры или (что эквивалентно) вероятность. В вероятностной постановке неравенство можно обобщить на полную силу.

Конечная форма

Для настоящего выпуклая функция ${\displaystyle \varphi }$, числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ в своей области, а положительные веса ${\displaystyle a_{i}}$, Неравенство Дженсена можно сформулировать как:

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}\qquad \qquad (1)}$

и неравенство отменяется, если ${\displaystyle \varphi }$ является вогнутый, который

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.\qquad \qquad (2)}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ или же ${\displaystyle \varphi }$ линейна в области, содержащей ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$.

Как частный случай, если веса ${\displaystyle a_{i}}$ все равны, то (1) и (2) становятся

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (4)}$

Например, функция бревно(Икс) является вогнутый, поэтому подставив ${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$ в предыдущей формуле (4) устанавливает (логарифм) знакомого неравенство среднего арифметического / среднего геометрического:

${\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\quad {\text{or}}\quad {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Обычное приложение имеет ${\displaystyle x}$ как функция другой переменной (или набора переменных) ${\displaystyle t}$, то есть, ${\displaystyle x_{i}=g(t_{i})}$. Все это прямо переносится на общий непрерывный случай: веса а_я заменяются неотрицательной интегрируемой функцией  ж (Икс), например, распределение вероятностей, а суммы заменяются интегралами.

Теоретико-мерная и вероятностная форма

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,A,\mu )}$ быть вероятностное пространство, так что ${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$. Если ${\displaystyle g}$ это настоящий -значная функция, которая ${\displaystyle \mu }$-интегрируемый, и если ${\displaystyle \varphi }$ это выпуклая функция на реальной линии, тогда:

${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .}$

В реальном анализе нам может потребоваться оценка

${\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),}$

куда ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, и ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ неотрицательный Лебег-интегрируемый функция. В этом случае мера Лебега ${\displaystyle [a,b]}$ не должно быть единства. Однако путем интегрирования с заменой интервал можно масштабировать так, чтобы он имел единицу измерения. Тогда неравенство Дженсена можно применить, чтобы получить^[3]

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Тот же результат может быть эквивалентно сформулирован в теория вероятности настройка, просто изменив обозначения. Позволять ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\operatorname {P} )}$ быть вероятностное пространство, Икс ан интегрируемый ценный случайная переменная и φ а выпуклая функция. Потом:

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

В этой настройке вероятности мера μ предназначен как вероятность ${\displaystyle \operatorname {P} }$, интеграл по μ как ожидаемое значение ${\displaystyle \operatorname {E} }$, а функция ${\displaystyle g}$ как случайная переменная Икс.

Отметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда φ является линейной функцией на некотором множестве ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \mathrm {P} (X\in A)=1}$ (что следует из приведенного ниже доказательства теории меры).

Общее неравенство в вероятностной постановке

В общем, пусть Т быть настоящим топологическое векторное пространство, и Икс а Т-ценный интегрируемый случайная переменная. В этой общей настройке интегрируемый означает, что существует элемент ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ в Т, такое, что для любого элемента z в двойное пространство из Т: ${\displaystyle \operatorname {E} |\langle z,X\rangle |<\infty }$, и ${\displaystyle \langle z,\operatorname {E} [X]\rangle =\operatorname {E} [\langle z,X\rangle ]}$. Тогда для любой измеримой выпуклой функции φ и любые суб-σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$:

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} \left[X\mid {\mathfrak {G}}\right]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\mid {\mathfrak {G}}\right].}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot \mid {\mathfrak {G}}]}$ стоит за ожидание обусловлено к σ-алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$. Это общее утверждение сводится к предыдущим, когда топологическое векторное пространство Т это реальная ось, и ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ это тривиальный σ-алгебра {∅, Ω} (куда ∅ это пустой набор, и Ω это пространство образца ).^[4]

Заостренная и обобщенная форма

Позволять Икс - одномерная случайная величина со средним ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$. Позволять ${\displaystyle \varphi (x)}$ - дважды дифференцируемая функция, и определим функцию

${\displaystyle h(x)\triangleq {\frac {\varphi \left(x\right)-\varphi \left(\mu \right)}{\left(x-\mu \right)^{2}}}-{\frac {\varphi '\left(\mu \right)}{x-\mu }}.}$

потом^[5]

${\displaystyle \sigma ^{2}\inf {\frac {\varphi ''(x)}{2}}\leq \sigma ^{2}\inf h(x)\leq E\left[\varphi \left(X\right)\right]-\varphi \left(E[X]\right)\leq \sigma ^{2}\sup h(x)\leq \sigma ^{2}\sup {\frac {\varphi ''(x)}{2}}.}$

В частности, когда ${\displaystyle \varphi (x)}$ выпукло, то ${\displaystyle \varphi ''(x)\geq 0}$, а стандартная форма неравенства Йенсена сразу следует для случая, когда ${\displaystyle \varphi (x)}$ дополнительно предполагается дважды дифференцируемой.

Доказательства

Графическое «доказательство» неравенства Йенсена для вероятностного случая. Пунктирная кривая вдоль Икс ось - гипотетическое распределение Икс, а штриховая кривая вдоль Y ось - соответствующее распределение Y значения. Отметим, что выпуклое отображение Y(Икс) все больше «растягивает» распределение для увеличения значений Икс.

Это без слов доказательство неравенства Дженсена для п переменные. Без ограничения общности сумма положительных весов равна 1. Отсюда следует, что взвешенная точка лежит в выпуклой оболочке исходных точек, лежащей над самой функцией по определению выпуклости. Напрашивается вывод.^[6]

Неравенство Дженсена может быть доказано несколькими способами, и будут предложены три разных доказательства, соответствующих различным утверждениям выше. Однако прежде чем приступить к этим математическим выводам, стоит проанализировать интуитивно понятный графический аргумент, основанный на вероятностном случае, когда Икс является действительным числом (см. рисунок). Предполагая гипотетическое распределение Икс значения, можно сразу определить положение ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ и его образ ${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$ в графике. Замечая, что для выпуклых отображений Y = φ(Икс) соответствующее распределение Y values ​​все больше «растягивается» для увеличения значений Икс, легко видеть, что распределение Y шире в интервале, соответствующем Икс > Икс₀ и уже в Икс < Икс₀ для любого Икс₀; в частности, это верно и для ${\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} [X]}$. Следовательно, на этой картинке ожидание Y всегда будет смещаться вверх относительно положения ${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$. Аналогичное рассуждение справедливо, если распределение Икс покрывает убывающую часть выпуклой функции или как убывающую, так и возрастающую ее части. Это «доказывает» неравенство, т.е.

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} [\varphi (X)]=\operatorname {E} [Y],}$

с равенством, когда φ(Икс) не является строго выпуклым, например когда это прямая линия, или когда Икс следует за вырожденное распределение (т.е. является константой).

Приведенные ниже доказательства формализуют это интуитивное понятие.

Доказательство 1 (конечная форма)

Если λ₁ и λ₂ - два произвольных неотрицательных действительных числа такие, что λ₁ + λ₂ = 1 то выпуклость φ подразумевает

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:\qquad \varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2}).}$

Это легко обобщить: если λ₁, ..., λ_п неотрицательные действительные числа такие, что λ₁ + ... + λ_п = 1, тогда

${\displaystyle \varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),}$

для любого Икс₁, ..., Икс_п. Этот конечная форма неравенства Йенсена можно доказать с помощью индукция: по предположению выпуклости утверждение верно для п = 2. Предположим, что это верно и для некоторых п, нужно доказать это для п + 1. По крайней мере, один из λ_я строго положительно, скажем λ₁; поэтому по неравенству выпуклости:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&=\varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+(1-\lambda _{1})\sum _{i=2}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right)\\&\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+(1-\lambda _{1})\varphi \left(\sum _{i=2}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right).\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}=1,}$

можно применить предположения индукции к последнему члену в предыдущей формуле, чтобы получить результат, а именно конечную форму неравенства Йенсена.

Чтобы получить общее неравенство из этой конечной формы, необходимо использовать аргумент плотности. Конечная форма может быть переписана как:

${\displaystyle \varphi \left(\int x\,d\mu _{n}(x)\right)\leq \int \varphi (x)\,d\mu _{n}(x),}$

куда μ_п мера, заданная произвольным выпуклое сочетание из Дельты Дирака:

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}.}$

Поскольку выпуклые функции непрерывный, а так как выпуклые комбинации дельт Дирака равны слабо плотный в наборе вероятностных мер (что легко проверить) общее утверждение получается простой процедурой ограничения.

Доказательство 2 (теоретико-мерная форма)

Позволять грамм - вещественнозначная μ-интегрируемая функция на вероятностном пространстве Ω, и пусть φ - выпуклая функция от действительных чисел. С φ выпукло, на каждое действительное число Икс у нас есть непустой набор субпроизводные, которые можно представить как линии, касающиеся графика φ в Икс, но которые находятся на графике или ниже графика φ во всех точках (опорные линии графика).

Теперь, если мы определим

${\displaystyle x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,}$

из-за существования субпроизводных для выпуклых функций мы можем выбрать а и б такой, что

${\displaystyle ax+b\leq \varphi (x),}$

для всех реальных Икс и

${\displaystyle ax_{0}+b=\varphi (x_{0}).}$

Но тогда у нас есть это

${\displaystyle \varphi \circ g(x)\geq ag(x)+b}$

для всех Икс. Поскольку у нас есть вероятностная мера, интеграл монотонен с μ(Ω) = 1 так что

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu \geq \int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu =a\int _{\Omega }g\,d\mu +b\int _{\Omega }d\mu =ax_{0}+b=\varphi (x_{0})=\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right),}$

по желанию.

Доказательство 3 (общее неравенство в вероятностной постановке)

Позволять Икс быть интегрируемой случайной величиной, которая принимает значения в реальном топологическом векторном пространстве Т. С ${\displaystyle \varphi :T\to \mathbb {R} }$ выпукло, для любого ${\displaystyle x,y\in T}$, количество

${\displaystyle {\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }},}$

убывает как θ приближается к 0⁺. В частности, субдифференциальный из ${\displaystyle \varphi }$ оценивается в Икс в направлении у хорошо определяется

${\displaystyle (D\varphi )(x)\cdot y:=\lim _{\theta \downarrow 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}=\inf _{\theta \neq 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}.}$

Легко видеть, что субдифференциал линейен по у^{[нужна цитата ]} (это неверно, и утверждение требует доказательства теоремы Хана-Банаха) и, поскольку нижняя грань, взятая в правой части предыдущей формулы, меньше, чем значение того же члена для θ = 1, получается

${\displaystyle \varphi (x)\leq \varphi (x+y)-(D\varphi )(x)\cdot y.}$

В частности, для произвольной суб-σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ мы можем оценить последнее неравенство, когда ${\displaystyle x=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}],\,y=X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]}$ чтобы получить

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\leq \varphi (X)-(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]).}$

Теперь, если мы возьмем ожидание, обусловленное ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ по обе стороны от предыдущего выражения, мы получаем результат, так как:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left[(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\right]\mid {\mathfrak {G}}\right]=(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot \operatorname {E} [\left(X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}]=0,}$

по линейности субдифференциала по у переменной, и следующее известное свойство условное ожидание:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}\right]=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}].}$

Приложения и особые случаи

Форма с функцией плотности вероятности

Предполагать Ω является измеримым подмножеством действительной прямой и ж(Икс) - неотрицательная функция такая, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

На вероятностном языке ж это функция плотности вероятности.

Тогда неравенство Йенсена превращается в следующее утверждение о выпуклых интегралах:

Если грамм - любая измеримая вещественнозначная функция и ${\textstyle \varphi }$ выпукла в диапазоне грамм, тогда

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

Если грамм(Икс) = Икс, то эта форма неравенства сводится к обычно используемому частному случаю:

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

Это применяется в Вариационные байесовские методы.

Пример: даже моменты случайной величины

Если грамм(Икс) = Икс²ⁿ, и Икс случайная величина, то грамм выпукла как

${\displaystyle {\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}\geq 0\quad \forall \ x\in \mathbb {R} }$

и так

${\displaystyle g(\operatorname {E} [X])=(\operatorname {E} [X])^{2n}\leq \operatorname {E} [X^{2n}].}$

В частности, если какой-то четный момент 2n из Икс конечно, Икс имеет конечное среднее. Расширение этого аргумента показывает Икс имеет конечные моменты каждого порядка ${\displaystyle l\in \mathbb {N} }$ разделение п.

Альтернативная конечная форма

Позволять Ω = {Икс₁, ... Икс_п}, и возьми μ быть счетная мера на Ω, то общая форма сводится к утверждению о суммах:

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$

при условии, что λ_я ≥ 0 и

${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1.}$

Также существует бесконечная дискретная форма.

Статистическая физика

Неравенство Йенсена имеет особое значение в статистической физике, когда выпуклая функция является экспоненциальной, что дает:

${\displaystyle e^{\operatorname {E} [X]}\leq \operatorname {E} \left[e^{X}\right],}$

где ожидаемые значения относятся к некоторым распределение вероятностей в случайная переменная Икс.

Доказательство в этом случае очень простое (см. Чандлер, раздел 5.5). Желаемое неравенство следует непосредственно, записывая

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{X}\right]=e^{\operatorname {E} [X]}\operatorname {E} \left[e^{X-\operatorname {E} [X]}\right]}$

а затем применяя неравенство е^Икс ≥ 1 + Икс до последней экспоненты.

Теория информации

Если п(Икс) истинная плотность вероятности для Икс, и q(Икс) - другая плотность, тогда применяя неравенство Дженсена для случайной величины Y(Икс) = q(Икс)/п(Икс) и выпуклая функция φ(у) = −log (у) дает

${\displaystyle \operatorname {E} [\varphi (Y)]\geq \varphi (\operatorname {E} [Y])}$

Следовательно:

${\displaystyle -D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {q(x)}{p(x)}}\right)\,dx\leq \log \left(\int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx\right)=\log \left(\int q(x)\,dx\right)=0}$

результат называется Неравенство Гиббса.

Это показывает, что средняя длина сообщения минимизируется, когда коды назначаются на основе истинных вероятностей. п а не любой другой дистрибутив q. Неотрицательная величина называется Дивергенция Кульбака – Лейблера из q из п.

С −log (Икс) - строго выпуклая функция при Икс > 0, то равенство выполняется при п(Икс) равно q(Икс) почти всюду.

Теорема Рао – Блэквелла

Основная статья: Теорема Рао – Блэквелла

Если L - выпуклая функция и ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ суб-сигма-алгебра, то из условной версии неравенства Дженсена получаем

${\displaystyle L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))\mid {\mathfrak {G}}]\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {E} [L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])]\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))].}$

Итак, если δ (Икс) это некоторые оценщик ненаблюдаемого параметра θ с учетом вектора наблюдаемых Икс; и если Т(Икс) это достаточная статистика для θ; затем улучшенная оценка в смысле меньшего ожидаемого убытка L, можно получить, вычислив

${\displaystyle \delta _{1}(X)=\operatorname {E} _{\theta }[\delta (X')\mid T(X')=T(X)],}$

ожидаемое значение δ относительно θ, взятое по всем возможным векторам наблюдений Икс совместим с таким же значением Т(Икс) как то заметил. Кроме того, поскольку T - достаточная статистика, ${\displaystyle \delta _{1}(X)}$ не зависит от θ, следовательно, становится статистикой.

Этот результат известен как Теорема Рао – Блэквелла.

Смотрите также

• Неравенство Караматы для более общего неравенства
• Неравенство Поповичу
• Закон средних чисел
• Доказательство без слов неравенства Дженсена

Примечания

1. Дженсен, Дж. Л. В. В. (1906). "Sur les fonctions convxes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. Дои:10.1007 / BF02418571.
2. Гао, Сян; Ситхарам, Мира; Ройтберг, Адриан (2019). «Границы разрыва Дженсена и последствия для средне-концентрированных распределений» (PDF). Австралийский журнал математического анализа и приложений. 16 (2). arXiv:1712.05267.
3. Никулеску, Константин П. «Интегральные неравенства», С. 12.
4. Внимание: в этой общности необходимы дополнительные предположения о выпуклой функции и / или топологическом векторном пространстве, см. Пример (1.3) на с. 53 дюйм Перлман, Майкл Д. (1974). «Неравенство Йенсена для выпуклой векторнозначной функции на бесконечномерном пространстве». Журнал многомерного анализа. 4 (1): 52–65. Дои:10.1016 / 0047-259X (74) 90005-0.
5. Liao, J .; Берг, А (2018). «Обострение неравенства Дженсена». Американский статистик. arXiv:1707.08644. Дои:10.1080/00031305.2017.1419145.
6. Брэдли, CJ (2006). Введение в неравенство. Лидс, Соединенное Королевство: Математический фонд Соединенного Королевства. п. 97. ISBN  978-1-906001-11-7.

Рекомендации

• Дэвид Чендлер (1987). Введение в современную статистическую механику. Оксфорд. ISBN  0-19-504277-8.
• Тристан Нидхэм (1993) «Визуальное объяснение неравенства Дженсена», Американский математический ежемесячный журнал 100(8):768–71.
• Никола Фуско; Паоло Марчеллини; Карло Сбордоне (1996). Analisi Matematica Due. Лигуори. ISBN  978-88-207-2675-1.
• Вальтер Рудин (1987). Реальный и комплексный анализ. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-054234-1.

внешняя ссылка

• Неравенство оператора Дженсена Хансена и Педерсена.
• «Неравенство Дженсена», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Дженсена». MathWorld.
• Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство». Электронная книга в формате PDF.