Формула Дженсенса - Jensens formula
В математической области, известной как комплексный анализ, Формула Дженсена, представлен Йохан Йенсен (1899 ), связывает среднюю величину аналитическая функция по кругу с номером его нули внутри круга. Это важное заявление при изучении целые функции.
Заявление
Предположим, что ƒ является аналитической функцией в области в комплексная плоскость который содержит закрытый диск D радиуса р о происхождении, а1, а2, ..., ап нули ƒ в интерьере D повторяется по кратности, и ƒ(0) ≠ 0. Формула Дженсена утверждает, что
Эта формула устанавливает связь между модулями нулей функции ƒ внутри диска D и среднее значение журнала |ж(z) | на граничном круге |z| = р, и может рассматриваться как обобщение свойства среднего значения гармонические функции. А именно, если ж не имеет нулей D, то формула Дженсена сводится к
что является средним значением гармонической функции .
Эквивалентное выражение формулы Дженсена, которое часто используется, это
куда обозначает количество нулей в круге радиуса с центром в начале координат.
Формула Йенсена может быть обобщена для функций, которые просто мероморфны на D. А именно, предположим, что
куда грамм и час являются аналитическими функциями в D с нулями на и соответственно, то формула Йенсена для мероморфных функций утверждает, что
Формулу Дженсена можно использовать для оценки количества нулей аналитической функции в круге. А именно, если ж - функция, аналитическая в круге радиуса р сосредоточен на z0 и если |ж| ограничен M на границе этого диска, то количество нулей ж в круге радиуса р < р с центром в той же точке z0 не превышает
Формула Йенсена является важным утверждением при изучении распределения значений целых и мероморфных функций. В частности, это отправная точка Теория Неванлинны.
Формула Пуассона – Дженсена
Формула Йенсена является следствием более общей формулы Пуассона – Йенсена, которая, в свою очередь, следует из формулы Йенсена путем применения Преобразование Мёбиуса к z. Он был представлен и назван Рольф Неванлинна. Если ж - аналитическая в единичном круге функция с нулями а1, а2, ..., ап расположен внутри единичного диска, то для каждого в единичном диске Формула Пуассона – Дженсена утверждает, что
Здесь,
это Ядро Пуассона на единичном диске. Если функция ж не имеет нулей в единичном круге, формула Пуассона-Йенсена сводится к
какой Формула Пуассона для гармонической функции .
Рекомендации
- Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), Дюссельдорф: McGraw – Hill, ISBN 0-07-000657-1, Zbl 0395.30001
- Дженсен, Дж. (1899), "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions", Acta Mathematica (На французском), 22 (1): 359–364, Дои:10.1007 / BF02417878, ISSN 0001-5962, JFM 30.0364.02, МИСТЕР 1554908
- Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала в комплексной плоскости, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 28, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001