Формула Дженсенса - Jensens formula

В математической области, известной как комплексный анализ, Формула Дженсена, представлен Йохан Йенсен  (1899 ), связывает среднюю величину аналитическая функция по кругу с номером его нули внутри круга. Это важное заявление при изучении целые функции.

Заявление

Предположим, что ƒ является аналитической функцией в области в комплексная плоскость который содержит закрытый диск D радиуса р о происхождении, а1а2, ..., ап нули ƒ в интерьере D повторяется по кратности, и ƒ(0) ≠ 0. Формула Дженсена утверждает, что

Эта формула устанавливает связь между модулями нулей функции ƒ внутри диска D и среднее значение журнала |ж(z) | на граничном круге |z| = р, и может рассматриваться как обобщение свойства среднего значения гармонические функции. А именно, если ж не имеет нулей D, то формула Дженсена сводится к

что является средним значением гармонической функции .

Эквивалентное выражение формулы Дженсена, которое часто используется, это

куда обозначает количество нулей в круге радиуса с центром в начале координат.

Формула Йенсена может быть обобщена для функций, которые просто мероморфны на D. А именно, предположим, что

куда грамм и час являются аналитическими функциями в D с нулями на и соответственно, то формула Йенсена для мероморфных функций утверждает, что

Формулу Дженсена можно использовать для оценки количества нулей аналитической функции в круге. А именно, если ж - функция, аналитическая в круге радиуса р сосредоточен на z0 и если |ж| ограничен M на границе этого диска, то количество нулей ж в круге радиуса р < р с центром в той же точке z0 не превышает

Формула Йенсена является важным утверждением при изучении распределения значений целых и мероморфных функций. В частности, это отправная точка Теория Неванлинны.

Формула Пуассона – Дженсена

Формула Йенсена является следствием более общей формулы Пуассона – Йенсена, которая, в свою очередь, следует из формулы Йенсена путем применения Преобразование Мёбиуса к z. Он был представлен и назван Рольф Неванлинна. Если ж - аналитическая в единичном круге функция с нулями а1а2, ..., ап расположен внутри единичного диска, то для каждого в единичном диске Формула Пуассона – Дженсена утверждает, что

Здесь,

это Ядро Пуассона на единичном диске. Если функция ж не имеет нулей в единичном круге, формула Пуассона-Йенсена сводится к

какой Формула Пуассона для гармонической функции .

Рекомендации

  • Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), Дюссельдорф: McGraw – Hill, ISBN  0-07-000657-1, Zbl  0395.30001
  • Дженсен, Дж. (1899), "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions", Acta Mathematica (На французском), 22 (1): 359–364, Дои:10.1007 / BF02417878, ISSN  0001-5962, JFM  30.0364.02, МИСТЕР  1554908
  • Рэнсфорд, Томас (1995), Теория потенциала в комплексной плоскости, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 28, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-46654-7, Zbl  0828.31001