Неравенство Караматаса - Karamatas inequality

В математика, Неравенство Караматы,^[1] названный в честь Йован Карамата,^[2] также известный как мажоритарное неравенство, является теоремой в элементарная алгебра для выпуклых и вогнутых действительных функций, определенных на отрезке вещественной прямой. Он обобщает дискретную форму Неравенство Дженсена, и, в свою очередь, обобщает понятие Шура-выпуклые функции.

Формулировка неравенства

Позволять $я$ быть интервал из реальная линия и разреши $ж$ обозначают действительное значение, выпуклая функция определено на $я$ . Если $Икс 1, . . . , Икс п$ и $у 1, . . . , у п$ числа в $я$ такой, что $(Икс 1, . . . , Икс п)$ мажоритарный $(у 1, . . . , у п)$ , тогда

{ displaystyle f (x_ {1}) + cdots + f (x_ {n}) geq f (y_ {1}) + cdots + f (y_ {n}).}

(1)

Здесь мажоризация означает, что $Икс 1, . . . , Икс п$ и $у 1, . . . , у п$ удовлетворяет

{ Displaystyle х_ {1} geq x_ {2} geq cdots geq x_ {п}}

и

{ displaystyle y_ {1} geq y_ {2} geq cdots geq y_ {n},}

(2)

и у нас есть неравенства

{ Displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {i} geq y_ {1} + cdots + y_ {i}}

для всех

я \in {1, . . . , п - 1

}.

(3)

и равенство

{ displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {n} = y_ {1} + cdots + y_ {n}}

(4)

Если $ж$ это строго выпуклая функция, то неравенство (1) выполняется с равенством тогда и только тогда, когда $Икс я = у я$ для всех $я \in {1, . . . , п$ }.

Замечания

Если выпуклая функция $ж$ является неубывающий, то доказательство (1) ниже, а обсуждение равенства в случае строгой выпуклости показывает, что равенство (4) можно расслабить до

{ displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {n} geq y_ {1} + cdots + y_ {n}.}

(5)

Неравенство (1) меняется на противоположное, если $ж$ является вогнутый, поскольку в этом случае функция $- ж$ выпуклый.

Пример

Конечная форма Неравенство Дженсена является частным случаем этого результата. Считайте реальные числа $Икс 1, . . . , Икс п \in я$ и разреши

{ displaystyle a: = { frac {x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n}} {n}}}

обозначить их среднее арифметическое. потом $(Икс 1, . . . , Икс п)$ уделяет большое внимание $п$ пара $(а, а, . . . , а)$ , так как среднее арифметическое $я$ наибольшее количество $(Икс 1, . . . , Икс п)$ не меньше среднего арифметического $а$ из всех $п$ числа, для каждого $я \in {1, . . . , п - 1$ }. По неравенству Караматы (1) для выпуклой функции $ж$ ,

{ Displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + cdots + f (x_ {n}) geq f (a) + f (a) + cdots + f (a) = nf (а).}

Деление на $п$ дает неравенство Дженсена. Знак меняется на противоположный, если $ж$ вогнутая.

Доказательство неравенства

Мы можем предположить, что числа расположены в порядке убывания, как указано в (2).

Если $Икс я = у я$ для всех $я \in {1, . . . , п$ }, то неравенство (1) выполняется с равенством, поэтому в дальнейшем можно считать, что $Икс я \neq у я$ по крайней мере для одного $я$ .

Если $Икс я = у я$ для $я \in {1, . . . , п - 1$ }, то неравенство (1) и свойства мажоризации (3) и (4) не пострадают, если мы удалим $Икс я$ и $у я$ . Следовательно, можно считать, что $Икс я \neq у я$ для всех $я \in {1, . . . , п - 1$ }.

Это свойство выпуклых функций что для двух чисел $Икс \neq у$ в интервале $я$ то склон

{ Displaystyle { гидроразрыва {е (х) -f (у)} {х-у}}}

из секущая линия через точки $(Икс, ж (Икс))$ и $(у, ж (у))$ из график из $ж$ это монотонно неубывающий функционировать в $Икс$ за $у$ фиксированный (и наоборот ). Отсюда следует, что

{ displaystyle c_ {i + 1}: = { frac {f (x_ {i + 1}) - f (y_ {i + 1})} {x_ {i + 1} -y_ {i + 1}} } leq { frac {f (x_ {i}) - f (y_ {i})} {x_ {i} -y_ {i}}} =: c_ {i}}

(6)

для всех $я \in {1, . . . , п - 1$ }. Определять $А 0 = B 0 = 0$ и

{ displaystyle A_ {i} = x_ {1} + cdots + x_ {i}, qquad B_ {i} = y_ {1} + cdots + y_ {i}}

для всех $я \in {1, . . . , п$ }. По свойству мажоризации (3), $А я \geq B я$ для всех $я \in {1, . . . , п - 1$ } и (4), $А п = B п$ . Следовательно,

{ displaystyle { begin {align} sum _ {i = 1} ^ {n} { bigl (} f (x_ {i}) - f (y_ {i}) { bigr)} & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -y_ {i}) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} { bigl (} underbrace {A_ {i} -A_ {i-1}} _ {= , x_ {i}} {} - ( underbrace {B_ {i} -B_ {i-1}} _ {= , y_ {i}}) { bigr)} & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i} -B_ {i}) - sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i-1} -B_ {i-1}) & = c_ {n} ( underbrace {A_ {n} -B_ {n}} _ {= , 0}) + sum _ {i = 1} ^ {n-1} ( underbrace {c_ {i} -c_ {i + 1}} _ { geq , 0}) ( underbrace {A_ {i } -B_ {i}} _ { geq , 0}) - c_ {1} ( underbrace {A_ {0} -B_ {0}} _ {= , 0}) & geq 0, конец {выровнено}}}

(7)

что доказывает неравенство Караматы (1).

Чтобы обсудить случай равенства в (1), Обратите внимание, что $Икс 1 > у 1$ к (3) и наше предположение $Икс я \neq у я$ для всех $я \in {1, . . . , п - 1$ }. Позволять $я$ наименьший индекс такой, что $(Икс я, у я) \neq (Икс я +1, у я +1)$ , который существует благодаря (4). потом $А я > B я$ . Если $ж$ строго выпукло, то в (6), означающий, что $c я +1 < c я$ . Следовательно, в сумме в правой части (7) и равенство в (1) не может удерживаться.

Если выпуклая функция $ж$ не убывает, то $c п \geq 0$ . Расслабленное состояние (5) Значит это $А п \geq B п$ , что достаточно, чтобы заключить, что $c п (А п - B п) \geq 0$ на последнем шаге (7).

Если функция $ж$ строго выпуклый и неубывающий, то $c п > 0$ . Осталось только обсудить дело $А п > B п$ . Однако тогда в правой части (7) и равенство в (1) не может удерживаться.

внешняя ссылка

Объяснение неравенства Караматы и теории мажоризации можно найти здесь.

[1] Кадельбург, Зоран; Джукич, Душан; Лукич, Миливое; Матич, Иван (2005), «Неравенства Караматы, Шура и Мюрхеда и некоторые приложения» (PDF), Обучение математике, 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966

[2] Карамата, Йован (1932), "Sur une inégalité relative aux fonctions convixes" (PDF), Publ. Математика. Univ. Белград (На французском), 1: 145–148, Zbl 0005.20101

[1]

[2]