Аксиома Паша - Paschs axiom

Не путать с Теорема Паша.

В геометрия, Аксиома Паша это заявление в плоская геометрия, используется неявно Евклид, что не может быть получено из постулаты как дал им Евклид. Его существенная роль была открыта Мориц Паш в 1882 г.[1]

Заявление

Две линии (черного цвета), пересекающие сторону треугольника внутри и встреча с другими сторонами внутри и внешне

Аксиома утверждает, что,[2]

Аксиома Паша — Пусть A, B, C - три точки, не лежащие на прямой, и пусть а - прямая на плоскости ABC, не пересекающаяся ни с одной из точек A, B, C. Если прямая а проходит через точку отрезка AB, также проходит через точку отрезка AC или через точку отрезка BC.

Тот факт, что отрезки AC и BC не пересекаются прямой а доказано в Приложении I, 1, написанном П. Бернейс.[3]

Более современная версия этой аксиомы выглядит следующим образом:[4]

Более современная версия аксиомы Паша — в самолет, если линия пересекает одну сторону треугольник внутри тогда он пересекает ровно одну другую сторону внутри и третья сторона внешне, если он не проходит через вершину треугольника.

(В случае, если третья сторона параллельна нашей линии, мы считаем «пересечение на бесконечности» внешним.) Часто встречается более неформальная версия аксиомы:

Более неформальная версия аксиомы Паша — Если прямая, не проходящая через какую-либо вершину треугольника, встречается с одной стороной треугольника, то она встречается с другой стороной.

История

Паш опубликовал эту аксиому в 1882 году:[1] и показал, что аксиомы Евклида были неполными. Эта аксиома была частью подхода Паша к введению понятия порядка в геометрию плоскости.

Эквивалентности

В других трактовках элементарной геометрии, использующих другие наборы аксиом, аксиома Паша может быть доказана как теорема;[5] это следствие аксиомы разделения плоскостей, когда ее принимают за одну из аксиом. Гильберт использует аксиому Паша в своей аксиоматической трактовке Евклидова геометрия.[6] Учитывая оставшиеся аксиомы в системе Гильберта, можно показать, что аксиома Паша логически эквивалентна аксиоме разделения плоскостей.[7]

Использование Гильбертом аксиомы Паша

Дэвид Гильберт использует аксиому Паша в своей книге Основы геометрии что обеспечивает аксиоматический основа для Евклидова геометрия. В зависимости от издания ему присваивается номер II.4 или II.5.[6] Его заявление приведено выше.

В трактовке Гильберта эта аксиома появляется в разделе, посвященном аксиомам порядка, и называется плоская аксиома порядка. Поскольку он не формулирует аксиому в терминах сторон треугольника (рассматриваемых как прямые, а не отрезки прямых), нет необходимости говорить о внутренних и внешних пересечениях прямой. а со сторонами треугольника ABC.

Предостережения

Аксиома Паша отличается от Теорема Паша что является заявлением о порядке четырех точек на линии. Однако в литературе есть много примеров, когда аксиома Паша именуется теоремой Паша. Ярким примером этого является Гринберг (1974), п. 67).

Аксиому Паша не следует путать с аксиомой Веблена-Юнга для проективная геометрия,[8] что может быть указано как:

Аксиома Веблена-Юнга для проективной геометрии —  Если линия пересекает две стороны треугольника, она также пересекает третью сторону.

В утверждении аксиомы Веблена-Юнга нет упоминания о внутреннем и внешнем пересечениях, которое касается только свойство инцидентности встречи линий. В проективной геометрии понятие промежуточности (необходимое для определения внутреннего и внешнего) недействительно, и все линии пересекаются (поэтому вопрос о параллельных линиях не возникает).

Примечания

  1. ^ а б Паша 1912, п. 21 год
  2. ^ Это взято из перевода Унгера 10-го издания книги Гильберта. Основы геометрии и имеет номер II.4.
  3. ^ Гильберт 1999, п. 200, перевод Унгера.
  4. ^ Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, п. 7
  5. ^ Уайли-младший. 1964 г., п. 100
  6. ^ а б аксиома II.5 в теории Гильберта Основы геометрии (Перевод Таунсенда, ссылка на который приводится ниже), в авторизованном английском переводе 10-го издания, переведенного Л. Унгером (также опубликованном Open Court), он имеет номер II.4. Между этими переводами есть несколько отличий.
  7. ^ для этого нужны только аксиомы Гильберта I.1,2,3 и II.1,2,3. Доказательство приводится в Фабер (1983, стр. 116-117).
  8. ^ Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, п. 6

Рекомендации

  • Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-48364-3, МИСТЕР  1629468
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., ISBN  978-0-8247-1748-3
  • Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история (1-е изд.), Сан-Франциско: W.H. Фриман, ISBN  978-0-7167-0454-6
    • Гринберг, Марвин Джей (2007), Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (4-е изд.), Сан-Франциско: W.H. Фриман, ISBN  978-0-7167-9948-1
  • Гильберт, Дэвид (1903), Grundlagen der Geometrie (на немецком языке), Лейпциг: B.G. Teubner
    • Гильберт, Дэвид (1950) [1902], Основы геометрии (PDF), переведено Таунсендом, Э. Дж., LaSalle, IL: Open Court Publishing
    • Гильберт, Дэвид (1999) [1971], Основы геометрии, перевод Унгер, Лео (2-е изд.), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN  978-0-87548-164-7
  • Моис, Эдвин (1990), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (Третье изд.), Addison-Wesley, Reading, MA, p. 74, ISBN  978-0-201-50867-3
  • Памбуччиан, Виктор (2011), "Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности", Expositiones Mathematicae (29): 24–66, Дои:10.1016 / j.exmath.2010.09.004
  • Паш, Мориц (1912) [первое издание 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (на немецком языке) (2-е изд.), Лейпциг: B.G. Teubner
  • Уайли-младший, Кларенс Рэймонд (1964), Основы геометрии, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, ISBN  978-0-070-72191-3
    • Wylie, Jr., C.R. (2009) [1964], Основы геометрии, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-47214-0

внешняя ссылка