Модель Бельтрами – Клейна - Beltrami–Klein model

Многие гиперболические прямые, проходящие через точку P, не пересекают прямую a в модели Бельтрами Клейна

Гиперболический трехгептагональная черепица в проекции модели Бельтрами – Клейна

В геометрии Модель Бельтрами – Клейна, также называемый проективная модель, Модель диска Клейна, а Модель Кэли-Клейна, это модель гиперболическая геометрия в котором точки представлены точками внутри единичный диск (или же п-размерный единичный мяч ), а линии представлены аккорды, отрезки прямых с идеальные конечные точки на границе сфера.

В Модель Бельтрами – Клейна назван в честь итальянского геометра Эухенио Бельтрами и немецкий Феликс Кляйн а "Кэли" в Модель Кэли-Клейна относится к английскому геометру Артур Кэли.

Модель Бельтрами – Клейна аналогична модели гномоническая проекция из сферическая геометрия, в этом геодезические (большие круги в сферической геометрии) отображаются в прямые линии.

Эта модель не конформный, что означает, что углы и окружности искажены, тогда как Модель диска Пуанкаре сохраняет их.

В этой модели прямые и отрезки представляют собой прямые евклидовы отрезки, тогда как в Модель диска Пуанкаре, линии дуги которые соответствуют границе ортогонально.

История

Эта модель впервые появилась на гиперболическая геометрия в двух мемуарах Эухенио Бельтрами опубликовано в 1868 г., впервые по размеру п = 2 а затем для общего пэти очерки доказали равноправность гиперболической геометрии с обычным Евклидова геометрия.^[1]^[2]^[3]

Работы Бельтрами до недавнего времени оставались малоизвестными, и модель была названа в честь Кляйна («Модель диска Клейна»). Произошло это следующим образом. В 1859 г. Артур Кэли использовал перекрестное соотношение определение угла из-за Laguerre чтобы показать, как можно определить евклидову геометрию, используя проективная геометрия.^[4] Его определение расстояния позже стало известно как Метрика Кэли.

В 1869 г. молодой (двадцатилетний) Феликс Кляйн познакомился с работами Кэли. Он вспомнил, что в 1870 году он выступал с докладом о работе Кэли на семинаре Weierstrass и он написал:

"Я закончил вопросом, может ли существовать связь между идеями Кэли и Лобачевский. Мне ответили, что эти две системы концептуально сильно разделены ».^[5]

Потом, Феликс Кляйн понял, что идеи Кэли порождают проективную модель неевклидовой плоскости.^[6]

Как выразился Кляйн: «Я позволил себе убедиться в этих возражениях и отбросил эту уже зрелую идею». Однако в 1871 году он вернулся к этой идее, сформулировал ее математически и опубликовал.^[7]

Формула расстояния

Функция расстояния для модели Бельтрами – Клейна является Метрика Кэли – Клейна. Учитывая две разные точки п и q в открытом единичном шаре единственная соединяющая их прямая пересекает границу в двух точках. идеальные точки, а и бпометьте их так, чтобы точки были по порядку а, п, q, б и |водный| > |ap| и |pb| > |qb|.

Гиперболическое расстояние между п и q затем: ${displaystyle d (p, q) = {frac {1} {2}} log {frac {left | aqight |, left | pbight |} {left | apight |, left | qbight |}}}$

Вертикальные полосы указывают евклидовы расстояния между точками между ними в модели, log - это натуральный логарифм и коэффициент половинный необходим, чтобы дать модели стандартный кривизна -1.

Когда одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно р тогда гиперболическое расстояние равно:

{displaystyle {frac {1} {2}} ln left ({frac {1 + r} {1-r}} ight) = operatorname {artanh} r}

Где Artanh это обратная гиперболическая функция из гиперболический тангенс.

Модель диска Клейна

Линии проективной модели гиперболическая плоскость

В двух измерениях Модель Бельтрами – Клейна называется Модель диска Клейна. Это диск а внутренняя часть диска - это модель всего гиперболическая плоскость Линии в этой модели представлены аккорды граничной окружности (также называемой абсолютный Точки на граничной окружности называются идеальные точки;несмотря на то что хорошо определенный, они не принадлежат гиперболической плоскости. Также нет точек за пределами диска, которые иногда называют ультра идеальные точки.

Модель не конформный, что означает, что углы искажены, а круги на гиперболическая плоскость в целом не являются круглыми в модели. Не искажаются только круги, центр которых находится в центре граничной окружности. Все остальные круги искажены, как и орициклы и гиперциклы

Характеристики

Хорды, которые встречаются на граничном круге, - это предельная параллель линий.

Две хорды перпендикулярны, если при выходе за пределы диска каждая проходит через столб другого. (Полюс хорды - это ультраидеальная точка: точка за пределами диска, где пересекаются касательные к диску на концах хорды.) Хорды, проходящие через центр диска, имеют свой полюс на бесконечности, ортогональный оси. направление хорды (это означает, что прямые углы диаметров не искажаются).

Конструкции компаса и линейки

Вот как можно использовать конструкции компаса и линейки в модели для достижения эффекта основных конструкций в гиперболическая плоскость.

В полюс линии. Хотя полюс не является точкой в гиперболической плоскости (это ультра идеальная точка) в большинстве конструкций полюс линии используется одним или несколькими способами.

Для линии: построить касательные к граничной окружности через идеальные (конечные) точки линии. точка пересечения этих касательных - полюс.

За диаметры диска: полюс находится на бесконечности перпендикулярно диаметру.

К построить перпендикуляр к заданной линии через заданную точку нарисовать луч от столб линии, проходящей через данную точку. Та часть луча, которая находится внутри диска, является перпендикуляром.

Когда линия представляет собой диаметр диска, перпендикуляр - это хорда, которая (евклидова) перпендикулярна этому диаметру и проходит через данную точку.

К найти середину данного отрезка ${displaystyle AB}$ : Нарисуйте линии через A и B, которые перпендикулярны ${displaystyle AB}$ . (см. выше) Проведите линии, соединяющие идеальные точки из этих линий две из этих линий будут пересекать отрезок ${displaystyle AB}$ и сделает это в тот же момент. Эта точка (гиперболическая) середина из ${displaystyle AB}$ .^[8]
К делить пополам заданный угол ${displaystyle angle BAC}$ : Нарисуйте лучи AB и AC. Нарисуйте касательные к окружности, где лучи пересекают граничную окружность. Проведите линию от А до точки пересечения касательных. Часть этой линии между А а граничная окружность - биссектриса.^[9]
В общий перпендикуляр двух линий это аккорд, который при растяжении проходит через оба полюса аккордов.

Когда одна из хорд является диаметром граничной окружности, то общий перпендикуляр - это хорда, которая перпендикулярна диаметру и которая при удлинении проходит через полюс другой хорды.

К отразить точку P на прямой l: Из точки R на прямой l проведите луч через P. Пусть X будет идеальной точкой, где луч пересекает абсолют. Проведите луч от полюса прямой l через X, пусть Y будет другой точкой пересечения с абсолютом. Нарисуйте отрезок RY. Отражение точки P - это точка, в которой луч от полюса прямой l через P пересекает RY.^[10]

Круги, гиперциклы и орициклы

Круги в модели Клейна-Бельтрами гиперболической геометрии.

В то время как линии в гиперболической плоскости легко рисовать в модели диска Клейна, с кругами это не то же самое, гиперциклы и орициклы.

Круги (совокупность всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, ее центра) в модели становятся эллипсы становятся все более плоскими по мере приближения к краю. Также деформируются углы в модели диска Клейна.

Для конструкций на гиперболической плоскости, содержащих окружности, гиперциклы, орициклы или не прямые углы лучше использовать Модель диска Пуанкаре или Модель полуплоскости Пуанкаре.

Связь с моделью диска Пуанкаре

Комбинированные проекции из модели диска Клейна (желтые) на Модель диска Пуанкаре (красный) через модель полушария (синий)

Модель Бельтрами – Клейна (K на рисунке) является орфографическая проекция от полусферической модели и гномоническая проекция модели гиперболоида (Hy) с центром гиперболоида (O).

Оба Модель диска Пуанкаре и модель диска Клейна являются моделями гиперболической плоскости. Преимущество модели диска Пуанкаре состоит в том, что она конформна (круги и углы не искажаются); недостатком является то, что линии геометрии дуги окружности ортогонален граничной окружности диска.

Две модели связаны через проекцию на или от модель полушария. Модель Клейна - это орфографическая проекция к модели полушария, а модель диска Пуанкаре - стереографическая проекция.

При проецировании одинаковых линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же два идеальные точки. (идеальные точки остаются на том же месте) также столб хорды - это центр круга, который содержит дуга.

Если P - точка на расстоянии ${displaystyle s}$ от центра единичной окружности в модели Бельтрами – Клейна, затем соответствующая точка на модели диска Пуанкаре находится на расстоянии u того же радиуса:

{displaystyle u = {frac {s} {1+ {sqrt {1-s ^ {2}}}}} = {frac {left (1- {sqrt {1-s ^ {2}}} ight)} { s}}.}

И наоборот, если P - точка на расстоянии ${displaystyle u}$ от центра единичного круга в модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами – Клейна находится на расстоянии s на том же радиусе:

{displaystyle s = {frac {2u} {1 + u ^ {2}}}.}

Связь модели диска с моделью гиперболоида

Оба модель гиперболоида и модель диска Клейна являются моделями гиперболической плоскости.

Диск Клейна (K на рисунке) - это гномоническая проекция модели гиперболоида (Hy) с центром гиперболоида (O) и плоскостью проекции, касательной к ближайшей точке гиперболоида. ^[11]

Расстояние и метрический тензор

Обычный гиперболический додекаэдрические соты, {5,3,4}

Учитывая две разные точки U и V в открытом единичном шаре модели в Евклидово пространство, соединяющая их единственная прямая пересекает единичную сферу в двух точках. идеальные точки А и B, помеченные так, чтобы точки располагались по линии, А, U, V, B. Принимая центр единичного шара модели в качестве начала координат, и назначая векторы положения ты, v, а, б соответственно по точкам U, V, А, B, у нас есть что ‖а − v‖ > ‖а − ты‖ и ‖ты − б‖ > ‖v − б‖, куда ‖ · ‖ обозначает Евклидова норма. Тогда расстояние между U и V в моделируемом гиперболическом пространстве выражается как

{displaystyle d (mathbf {u}, mathbf {v}) = {frac {1} {2}} log {frac {left | mathbf {v} -mathbf {a} ight |, left | mathbf {b} -mathbf {u} ight |} {left | mathbf {u} -mathbf {a} ight |, left | mathbf {b} -mathbf {v} ight |}},}

где коэффициент половинный необходим, чтобы сделать кривизна −1.

Связанный метрический тензор дан кем-то

{displaystyle ds ^ {2} = g (mathbf {x}, dmathbf {x}) = {frac {left | dmathbf {x} ight | ^ {2}} {1-left | mathbf {x} ight | ^ { 2}}} + {frac {(mathbf {x} cdot dmathbf {x}) ^ {2}} {{igl (} 1-left | mathbf {x} ight | ^ {2} {igr)} ^ {2 }}} = {frac {(1-left | mathbf {x} ight | ^ {2}) left | dmathbf {x} ight | ^ {2} + (mathbf {x} cdot dmathbf {x}) ^ {2 }} {{igl (} 1-left | mathbf {x} ight | ^ {2} {igr)} ^ {2}}}}

^[12]^[13]

Связь с моделью гиперболоида

В модель гиперболоида модель гиперболической геометрии внутри (п + 1)-размерный Пространство Минковского. Внутреннее произведение Минковского дается формулой

{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} -cdots -x_ {n} y_ {n},}

и норма ${displaystyle left | mathbf {x} ight | = {sqrt {mathbf {x} cdot mathbf {x}}}}$ . Гиперболическая плоскость вложена в это пространство как векторы Икс с ‖Икс‖ = 1 и Икс₀ («времениподобная составляющая») положительная. Внутреннее расстояние (во вложении) между точками ты и v тогда дается

{displaystyle d (mathbf {u}, mathbf {v}) = имя оператора {arcosh} (mathbf {u} cdot mathbf {v}).}

Это также можно записать в однородной форме

{displaystyle d (mathbf {u}, mathbf {v}) = operatorname {arcosh} left ({frac {mathbf {u}} {left | mathbf {u} ight |}} cdot {frac {mathbf {v}} { left | mathbf {v} ight |}} ight),}

что позволяет масштабировать векторы для удобства.

Модель Бельтрами – Клейна получается из модели гиперболоида путем изменения масштаба всех векторов так, чтобы времениподобная компонента была равна 1, то есть путем проецирования вложения гиперболоида через начало координат на плоскость Икс₀ = 1. Функция расстояния в своей однородной форме не изменяется. Поскольку внутренние линии (геодезические) модели гиперболоида являются пересечением вложения с плоскостями через начало координат Минковского, внутренние линии модели Бельтрами – Клейна являются хордами сферы.

Связь с моделью Пуанкаре шара

Оба Модель шара Пуанкаре и модель Бельтрами – Клейна являются моделями п-мерное гиперболическое пространство в п-размерный шар в р^п. Если ${displaystyle u}$ вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами – Клейна задается формулой

{displaystyle s = {frac {2u} {1 + ucdot u}}.}

И наоборот, из вектора ${displaystyle s}$ с нормой меньше единицы, представляющей точку модели Бельтрами – Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре задается формулой

{displaystyle u = {frac {s} {1+ {sqrt {1-scdot s}}}} = {frac {left (1- {sqrt {1-scdot s}} ight) s} {scdot s}}. }

Даны две точки на границе единичного круга, которые традиционно называют идеальные точкипрямая, соединяющая их в модели Бельтрами – Клейна, является хордой между ними, а в соответствующей модели Пуанкаре линия представляет собой дуга окружности на двумерном подпространстве, порожденном двумя векторами граничных точек, встречающихся с границей шара под прямым углом. Две модели связаны выступом из центра диска; луч из центра, проходящий через точку одной модельной линии, проходит через соответствующую точку прямой в другой модели.

Смотрите также

Примечания

^ Бельтрами, Эухенио (1868). "Saggio di translationsione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche. VI: 285–315.
^ Бельтрами, Эухенио (1868). "Теория фондментале дельи спасения ди курватура костанте". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Серия II. 2: 232–255. Дои:10.1007 / BF02419615.
^ Стиллвелл, Джон (1999). Источники гиперболической геометрии (2. Печ. Ред.). Провиденс: американское математическое общество. стр.7–62. ISBN 0821809229.
^ Кэли, Артур (1859). "Шестое воспоминание о квантах". Философские труды Королевского общества. 159: 61–91. Дои:10.1098 / рстл.1859.0004.
^ Кляйн, Феликс (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Часть 1. Springer. п. 152.
^ Кляйн, Феликс (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573–625. Дои:10.1007 / BF02100583.
^ Шафаревич, И.; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
^ гиперболический набор инструментов
^ гиперболический набор инструментов
^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидовы и неевклидовы геометрии: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. стр.272 –273. ISBN 9780716724469.
^ Хван, Эндрю Д. «Аналогия проекции сферической и гиперболической геометрии». Обмен стеком. Получено 1 января 2017.
^ Гиперболическая геометрия, Дж. У. Кэннон, У. Дж. Флойд, Р. Кеньон, У. Р. Парри
^ отвечать из Обмен стеком