Аксиома Мартинса - Martins axiom

в математический поле теория множеств, Аксиома мартина, представлен Дональд А. Мартин и Роберт М. Соловей  (1970 ), является утверждением, которое не зависит от обычных аксиом Теория множеств ZFC. Это подразумевается гипотеза континуума, но это согласуется с ZFC и отрицанием гипотезы континуума. Неофициально говорится, что все кардиналы меньше, чем мощность континуума, ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, веди себя примерно как ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Интуицию, стоящую за этим, можно понять, изучив доказательство Лемма Расиова – Сикорского.. Это принцип, который используется для контроля определенных принуждение аргументы.

Утверждение аксиомы Мартина

Для любого кардинала k, определим утверждение, обозначенное MA (k):

Для любого частичный заказ п удовлетворение условие счетной цепи (далее ccc) и любая семья D плотных множеств в п такой, что | D | ≤ k, Существует фильтр F на п такой, что F ∩ d не-пустой для каждого d в D.

Поскольку это теорема ZFC, MA (${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$) не выполняется, аксиома Мартина формулируется следующим образом:

Аксиома Мартина (MA): Для каждого k < ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, Массачусетс (k) имеет место.

В этом случае (для применения ccc) антицепь является подмножеством А из п так что любые два различных члена А несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих в частичном порядке). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревья.

MA (${\displaystyle \aleph _{0}}$) просто правда. Это известно как Лемма Расиова – Сикорского..

MA (${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$) ложно: [0, 1] является компактный Пространство Хаусдорфа, который отделяемый и так ccc. Нет изолированные точки, поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединение ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ много очков. (См. Условие, эквивалентное ${\displaystyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$ ниже.)

Эквивалентные формы MA (k)

Следующие утверждения эквивалентны MA (k):

• Если Икс компактный хаусдорф топологическое пространство что удовлетворяет ccc тогда Икс это не союз k или меньше нигде не плотный подмножества.
• Если п непустой восходящий ccc посеть и Y семейство конфинальных подмножеств п с | Y | ≤ k то есть направленный вверх набор А такой, что А встречает каждый элемент Y.
• Позволять А быть ненулевым ccc Булева алгебра и F семейство подмножеств А с | F | ≤ k. Тогда существует булев гомоморфизм φ: А → Z/2Z так что для каждого Икс в F либо есть а в Икс с φ (а) = 1 или существует верхняя граница б за Икс с φ (б) = 0.

Последствия

В аксиоме Мартина есть ряд других интересных комбинаторный, аналитический и топологический последствия:

• Союз k или меньше нулевые наборы в безатомной σ-конечной Мера Бореля на Польское пространство нулевой. В частности, объединение k или меньше подмножеств р из Мера Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
• Компактное хаусдорфово пространство Икс с | X | < 2^k является последовательно компактный, т.е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Нет непринципиального ультрафильтр на N имеет базу мощности < k.
• Равнозначно для любого Икс в βN\N имеем χ (Икс) ≥ k, где χ - персонаж из Икс, поэтому χ (βN) ≥ k.
• MA (${\displaystyle \aleph _{1}}$) означает, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, означает, что нет Линии Суслина ).
• MA + ¬CH означает, что существует Группа Уайтхеда это не бесплатно; Шела использовал это, чтобы показать, что Проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Смотрите также

• Аксиома Мартина имеет обобщения, называемые аксиома правильного принуждения и Максимум Мартина.
• Шелдон В. Дэвис предположил в своей книге, что аксиома Мартина мотивирована Теорема Бэра о категории (Дэвис 2005, п. 29).

Рекомендации

• Дэвис, Шелдон В. (2005). Топология. Макгроу Хилл. ISBN  0-07-291006-2.
• Фремлин, Дэвид Х. (1984). Последствия аксиомы Мартина. Кембриджские трактаты по математике, вып. 84. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-25091-9.
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.
• Мартин, Д. А .; Соловей, Р. М. (1970), "Внутренние расширения Коэна". Анна. Математика. Логика, 2 (2): 143–178, Дои:10.1016/0003-4843(70)90009-4, МИСТЕР  0270904