Теорема Голдиса - Goldies theorem

В математика, Теорема Голди это основной структурный результат в теория колец, доказано Альфред Голди в течение 1950-х гг. То, что сейчас называется правом Кольцо Goldie это звенеть р который имеет конечный единый размер (= "конечный ранг") как правый модуль над собой и удовлетворяет условие возрастающей цепи на правом аннигиляторы подмножеств р.

Теорема Голди утверждает, что полупервичный правильные кольца Goldie - это именно те кольца, которые имеют полупростой Артиниан верно классическое кольцо частных. Тогда структура этого кольца частных полностью определяется Теорема Артина – Веддерберна.

В частности, теорема Голди применяется к полупервичным правым Нётерские кольца, так как по определению нётеровы справа кольца удовлетворяют условию возрастающей цепи на все правильные идеалы. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что правое нётерское кольцо - правильное Голди. Обратное неверно: каждое право Рудный домен - правая область Голди, а значит, и всякая коммутативная область целостности.

Следствием теоремы Голди, опять же благодаря Голди, является то, что каждое полупервичное число кольцо главных правых идеалов изоморфна конечной прямой сумме основной кольца главных правых идеалов. Каждое кольцо первичных главных правых идеалов изоморфно кольцу матричное кольцо над правым доменом Ore.

Набросок доказательства

Это набросок характеристики, упомянутой во введении. Его можно найти в (Лам 1999, стр.324).

  • Если р - полупервичное правое кольцо Голди, то это правый порядок в полупростом кольце:
  • Если р является правым порядком в полупростом кольце Q, то это полупервичная правая Голди:
    • Любой правильный порядок в нётерском кольце (например, Q) права Голди.
    • Любой правильный порядок в нётеровом полупервичном кольце (например, Q) сам является полупервичным.
    • Таким образом, р полупервичная правая Голди.

Рекомендации

  1. ^ Это можно вывести из теоремы Мьюборна и Винтона о том, что если кольцо удовлетворяет максимальное состояние на правых аннуляторах правый особый идеал нильпотентен. (Лам 1999, стр.252)
  • Coutinho, S.C .; Макконнелл, Дж. К. (2003). «Поиск факторных колец (некоммутативных нётеровых колец». Американский математический ежемесячный журнал. 110 (4): 298–313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947. Дои:10.2307/3647879. JSTOR  3647879.
  • Голди, А. (1958). «Строение первичных колец в условиях возрастающей цепи». Proc. Лондонская математика. Soc. 8 (4): 589–608. Дои:10,1112 / плмс / с3-8.4.589.
  • Голди, А. (1960). «Полупервичные кольца с условиями максимума». Proc. Лондонская математика. Soc. 10: 201–220. Дои:10.1112 / плмс / с3-10.1.201.
  • Герштейн, И. (1969). Темы теории колец. Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Chicago Univ. Пр. стр.61 –86. ISBN  978-0-226-32802-7.
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, МИСТЕР  1653294

внешняя ссылка