Полная категория - Complete category

В математика, а полная категория это категория в котором все маленькие пределы существовать. То есть категория C будет полным, если каждый диаграмма F : J → C (куда J является маленький ) имеет предел в C. Вдвойне, а неполная категория тот, в котором все маленькие копределы существовать. А двухполная категория является категорией, которая одновременно является полной и кокомполненной.

Существование все пределы (даже когда J это правильный класс ) слишком сильна, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкая категория: для любых двух объектов может быть не более одного морфизма от одного объекта к другому.

Более слабая форма полноты - это форма конечной полноты. Категория есть конечно полный если существуют все конечные пределы (т.е. пределы диаграмм, индексированные конечной категорией J). Соответственно, категория конечно кополный если все конечные копределы существуют.

Теоремы

Это следует из теорема существования пределов что категория полная если и только если она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и всех (малых) товары. Поскольку эквалайзеры могут быть построены из откаты и бинарные продукты (рассмотрим откат (ж, грамм) по диагонали Δ) категория является полной тогда и только тогда, когда в ней есть откаты и произведения.

Двойственно категория является комполной тогда и только тогда, когда она имеет соэквалайзеры и все (маленькие) побочные продукты, или, что то же самое, выталкивания и побочные продукты.

Конечную полноту можно охарактеризовать несколькими способами. Для категории C, все следующие эквиваленты:

• C конечно полное,
• C есть эквалайзеры и все конечные продукты,
• C есть эквалайзеры, бинарные продукты и конечный объект,
• C имеет откаты и конечный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

А малая категория C является полным тогда и только тогда, когда оно совпадает.^[1] Небольшая полная категория обязательно будет тонкой.

А позетальная категория vacuously имеет все эквалайзеры и коэквалайзеры, поэтому он (конечно) полон тогда и только тогда, когда он имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственно по теореме о полных решетках.

Примеры и непримеры

• Следующие категории являются двухполными:
  • Набор, то категория наборов
  • Вершина, то категория топологических пространств
  • Grp, то категория групп
  • Ab, то категория абелевых групп
  • Звенеть, то категория колец
  • K-Vect, то категория векторных пространств через поле K
  • р-Мод, то категория модулей через коммутативное кольцо р
  • CmptH, категория всех компактные хаусдорфовы пространства
  • Кот, то категория всех малых категорий
  • Whl, категория колеса
  • sSet, категория симплициальные множества^[2]
• Следующие категории являются конечно полными и конечно кокополными, но ни полными, ни кокополными:
  • Категория конечные множества
  • Категория конечные абелевы группы
  • Категория конечномерный векторные пространства
• Любой (предварительно )абелева категория конечно полно и конечно коколонно.
• Категория полные решетки является полным, но не неполным.
• В категория метрических пространств, Встретились, конечно полное, но не имеет ни двоичных копроизведений, ни бесконечных произведений.
• В категория полей, Поле, не является ни конечно полным, ни конечно кокополным.
• А посеть, рассматриваемая как малая категория, является полной (и кокомполной) тогда и только тогда, когда она является полная решетка.
• В частично упорядоченный класс из всех порядковые номера является неполным, но не полным (поскольку не имеет конечного объекта).
• Группа, рассматриваемая как категория с одним объектом, считается полной тогда и только тогда, когда она банальный. Нетривиальная группа имеет откаты и вытеснения, но не продукты, сопродукты, эквалайзеры, коэквалайзеры, конечные объекты или начальные объекты.

Рекомендации

1. Абстрактные и конкретные категории, Иржи Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер, теорема 12.7, стр. 213
2. Риль, Эмили (2014). Категориальная теория гомотопий. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 32. ISBN  9781139960083. OCLC  881162803.

дальнейшее чтение

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.