Преабелева категория - Pre-abelian category

В математика особенно в теория категорий, а преабелева категория является аддитивная категория это все ядра и коядра.

Если изложить более подробно, это означает, что категория C является преабелевым, если:

C является предаддитив, то есть обогащенный над моноидальная категория из абелевы группы (эквивалентно, все домашние наборы в C находятся абелевы группы и состав морфизмы является билинейный );
C есть все конечный товары (эквивалентно, все конечные побочные продукты ); обратите внимание, потому что C также является предаддитивным, конечные произведения аналогичны конечным копроизведениям, что делает их побочные продукты;
учитывая любой морфизм ж: А → B в C, то эквалайзер из ж и нулевой морфизм из А к B существует (это по определению ядро ж), как и уравнитель (это по определению коядро ж).

Обратите внимание, что нулевой морфизм в п.3 можно идентифицировать как элемент идентичности из домашний набор Hom (А,B), которая по п.1 является абелевой группой; или как уникальный морфизм А → 0 → B, где 0 - нулевой объект, существование гарантировано п.2.

Примеры

Оригинальным примером аддитивной категории является категория Ab из абелевы группы.Ab является предаддитивным, потому что это закрытая моноидальная категория, побочный продукт в Ab конечный прямая сумма, ядро - это включение обычное ядро из теории групп а коядро - это фактор-отображение на обычное коядро из теории групп.

Другие распространенные примеры:

Категория (слева) модули через звенеть р, особенно:
- категория векторные пространства через поле K.
Категория (Хаусдорф ) абелевский топологические группы.
Категория Банаховы пространства.
Категория Пространства фреше.
Категория (Хаусдорфа) борнологические пространства.

Это даст вам представление о том, о чем думать; дополнительные примеры см. абелева категория (каждая абелева категория преабелева).

Элементарные свойства

Конечно, каждая преабелева категория аддитивная категория, и многие основные свойства этих категорий описаны в этой теме. Эта статья посвящена свойствам, которые сохраняются именно благодаря существованию ядер и коядров.

Хотя ядра и коядра являются особыми видами эквалайзеры и соуравнители, в преабелевой категории действительно есть все эквалайзеры и коэквалайзеры. Мы просто строим эквалайзер двух морфизмов ж и грамм как ядро их различия грамм − ж ; аналогично, их коэквалайзер является коядром их разности. (Альтернативный термин «разностное ядро» для двоичных эквалайзеров происходит от этого факта.) Поскольку все преабелевы категории имеют конечные товары и побочные продукты (двойные произведения) и все бинарные эквалайзеры и коэквалайзеры (как только что описано), то по общей теореме теория категорий, у них все конечные пределы и копределы, То есть преабелевы категории конечно полный.

Существование как ядер, так и коядров дает представление о изображение и coimage Мы можем определить их как

яж : = установка для коксованияж;

коимж : = coker kerж.

То есть изображение - это ядро коядра, а кообраз - это коядро ядра.

Обратите внимание, что это понятие изображения может не соответствовать обычному понятию изображения, или классифицировать, из функция, даже если предположить, что морфизмы в категории находятся Например, в категории топологических абелевых групп образ морфизма фактически соответствует включению закрытие диапазона функции. По этой причине люди часто будут различать значения двух терминов в этом контексте, используя «изображение» для абстрактного категориального понятия и «диапазон» для элементарного теоретико-множественного понятия.

Во многих распространенных ситуациях, таких как категория наборы, там, где существуют образы и соизображения, их объекты изоморфный.Положим точнее, мы имеем факторизацию ж: А → B в качестве

А → C → я → B,

где морфизм слева - это кообраз, морфизм справа - это изображение, а морфизм в середине (называемый параллельно из ж) является изоморфизмом.

В преабелевой категории это не обязательно правдаПоказанная выше факторизация существует всегда, но параллель может не быть изоморфизмом. ж является изоморфизмом для любого морфизма ж если и только если преабелева категория - это абелева категория.Примером неабелевой преабелевой категории является, опять же, категория топологических абелевых групп. Как уже отмечалось, образ - это включение закрытие ассортимента; тем не менее, coimage - это факторная карта самого диапазона. Таким образом, параллель - это включение диапазона в его замыкание, что не является изоморфизмом, если диапазон уже не был закрыто.

Точные функторы

Напомним, что все конечные пределы и копределы существуют в преабелевой категории. теория категорий, функтор называется осталось точно если он сохраняет все конечные пределы и прямо точно если он сохраняет все конечные копределы. (Функтор просто точный если это точно и слева, и справа.)

В преабелевой категории точные функторы можно описать особенно простыми терминами. Во-первых, напомним, что аддитивный функтор является функтором F: C → D между предаддитивные категории что действует как групповой гомоморфизм на каждой домашний набор Тогда оказывается, что функтор между преабелевыми категориями остается точным. если и только если он аддитивен и сохраняет все ядра, и он точен тогда и только тогда, когда он аддитивен и сохраняет все коксовые ядра.

Обратите внимание, что точный функтор, поскольку он сохраняет и ядра, и коядра, сохраняет все изображения и кообразы. Точные функторы наиболее полезны при изучении абелевы категории, где они могут быть применены к точные последовательности.

Максимально точная структура

О каждой преабелевой категории ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ существует точная структура ${ displaystyle { mathcal {E}} _ { text {max}}}$ это максимальное значение в том смысле, что оно содержит любую другую точную структуру. Точная структура ${ displaystyle { mathcal {E}} _ { text {max}}}$ состоит именно из тех пар ядро-коядро ${ Displaystyle (е, г)}$ куда ${ displaystyle f}$ является полустабильным ядром и ${ displaystyle { mathcal {g}}}$ - полустабильное коядро.^[1] Здесь, ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ является полустабильным ядром, если это ядро и для каждого морфизма ${ displaystyle h: X rightarrow Z}$ в выталкивание диаграмма

{ displaystyle { begin {array} {ccc} X & { xrightarrow {f}} & Y downarrow _ {h} && downarrow _ {h '} Z & { xrightarrow {f'}} & Q конец {массив}}}

морфизм ${ displaystyle f '}$ это снова ядро. ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ является полустабильным коядром, если оно является коядром и для любого морфизма ${ displaystyle h: Z rightarrow Y}$ в откат диаграмма

{ displaystyle { begin {array} {ccc} P & { xrightarrow {g '}} & Z downarrow _ {h'} ​​&& downarrow _ {h} X & { xrightarrow {g}} & Y конец {массив}}}

морфизм ${ displaystyle g '}$ снова коядро.

Преабелева категория ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ является квазиабелев тогда и только тогда, когда все пары ядро-коядро образуют точную структуру. Примером, для которого это не так, является категория борнологических пространств (Хаусдорфа).^[2]

Результат также действителен для аддитивных категорий, которые не являются преабелевыми, а Карубян.^[3]

Особые случаи

An абелева категория предабелева категория такая, что каждая мономорфизм и эпиморфизм является нормальный.
А квазиабелева категория - это преабелева категория, в которой ядра устойчивы при выталкивании, а коядра - при откатах.
А полуабелева категория является преабелевой категорией, в которой для каждого морфизма ${ displaystyle f}$ индуцированный морфизм ${ displaystyle { overline {f}}: operatorname {coim} f rightarrow operatorname {im} f}$ всегда мономорфизм и эпиморфизм.

Наиболее часто изучаемые доабелевы категории на самом деле являются абелевыми категориями; Например, Ab - абелева категория. Неабелевы преабелевы категории появляются, например, в функциональном анализе.

Цитаты

^ Sieg et. др., 2011, с. 2096.
^ Sieg et. др., 2011, с. 2099.
^ Кривей, 2012, с. 445.