Обогащенная категория - Enriched category

В теория категорий, филиал математика, обогащенная категория обобщает идею категория заменив домашние наборы с предметами из генерала моноидальная категория. Это мотивировано наблюдением, что во многих практических приложениях гом-множество часто имеет дополнительную структуру, которую следует соблюдать, например, то, что она является векторное пространство из морфизмы, или топологическое пространство морфизмов. В обогащенной категории набор морфизмов (гом-множество), связанный с каждой парой объектов, заменяется на объект в некоторой фиксированной моноидальной категории «гом-объектов». Чтобы имитировать (ассоциативную) композицию морфизмов в обычной категории, гом-категория должна иметь средства для объединения гом-объектов ассоциативным образом: то есть должна быть бинарная операция над объектами, дающая нам по крайней мере структура моноидальная категория, хотя в некоторых контекстах операция может также быть коммутативной и, возможно, также иметь правый смежный (т. е. создание категории симметричный моноидальный или даже симметричный замкнутый моноидальный, соответственно).^{[нужна цитата ]}

Таким образом, расширенная теория категорий включает в себя самые разные структуры, в том числе:

обычные категории, где гом-набор несет дополнительную структуру, помимо того, что он является набором. То есть существуют операции или свойства морфизмов, которые необходимо учитывать при композиции (например, наличие двух ячеек между морфизмами и их горизонтальная композиция в 2 категории, или операцию сложения морфизмов в абелева категория )
категориально-подобные сущности, которые сами по себе не имеют понятия индивидуального морфизма, но чьи гом-объекты имеют аналогичные композиционные аспекты (например, предварительные заказы где правило композиции обеспечивает транзитивность, или Метрические пространства Ловера, где hom-объекты - числовые расстояния, а правило композиции дает неравенство треугольника).

В случае, когда категорией гом-объекта оказывается категория наборов с обычным декартовым произведением определения расширенной категории, обогащенного функтора и т. д. сводятся к исходным определениям из обычной теории категорий.

Обогащенная категория гом-объектами из моноидальной категории M считается обогащенная категория над M или обогащенная категория в M, или просто М-категория. Из-за того, что Мак Лейн предпочитает букву V в отношении моноидальной категории, обогащенные категории также иногда обычно называют V-категории.

Определение

Позволять $(M, \otimes, я, α, λ, ρ)$ быть моноидальная категория. Затем обогащенная категория C (в качестве альтернативы, в ситуациях, когда выбор моноидальной категории должен быть явным, категория обогащена M, или же M-категория), состоит из

а учебный класс ob(C) из объекты из C,
объект $C (а, б)$ из M для каждой пары объектов а, б в C, используется для обозначения стрелки ${ displaystyle f: a rightarrow b}$ в C как стрела ${ displaystyle f: I rightarrow C (a, b)}$ в M,
Стрелка $я бы а : я \to C (а, а)$ в M обозначение личность для каждого объекта а в C, и
Стрелка $° abc : C (б, c) \otimes C (а, б) \to C (а, c)$ в M обозначение сочинение за каждую тройку объектов а, б, c в C, используется для определения состава ${ displaystyle f: a rightarrow b}$ и ${ displaystyle g: b rightarrow c}$ в C в качестве ${ displaystyle g circ _ { textbf {C}} f = {^ { circ}} _ {abc} (g otimes f)}$ вместе с тремя диаграммами коммутации, обсуждаемыми ниже.

Первая диаграмма выражает ассоциативность композиции:

$Математически обогащенная ассоциативность категорий .svg$

То есть теперь требование ассоциативности берется на себя ассоциатор моноидальной категории M.

В случае, если M это категория наборов и $(\otimes, я, α, λ, ρ)$ моноидальная структура $(\times, {•}, \dots)$ предоставленный декартово произведение, терминальное одноточечное множество и индуцируемые ими канонические изоморфизмы, то каждый $C (а, б)$ представляет собой набор, элементы которого можно рассматривать как «индивидуальные морфизмы» C, а °, теперь функция, определяет, как составляются последовательные морфизмы. В этом случае каждый путь, ведущий к $C (а, d)$ на первой диаграмме соответствует одному из двух способов составления трех последовательных индивидуальных морфизмов $а \to б \to c \to d$ , т.е. элементы из $C (а, б)$ , $C (б, c)$ и $C (c, d)$ . Коммутативность диаграммы - это просто утверждение, что оба порядка композиции дают один и тот же результат, точно такой, как требуется для обычных категорий.

Новым здесь является то, что вышеизложенное выражает требование ассоциативности без какой-либо явной ссылки на отдельные морфизмы в обогащенной категории. C - опять же, эти диаграммы предназначены для морфизмов в моноидальной категории M, а не в C - тем самым делая осмысленным понятие ассоциативности композиции в общем случае, когда гом-объекты $C (а, б)$ абстрактны, и C не нужно даже имеют любое понятие индивидуального морфизма.

Представление о том, что обычная категория должна иметь тождественные морфизмы, заменяется второй и третьей диаграммами, которые выражают идентичность в терминах левого и правого униторы:

$Математическая категория identity1.svg$

и

$Математически обогащенная категория identity2.svg$

Возвращаясь к случаю, когда M - категория множеств с декартовым произведением, морфизмы $я бы а : я \to C (а, а)$ становятся функциями из одноточечного набора я и тогда для любого объекта а, определить конкретный элемент каждого набора $C (а, а)$ , то, что мы можем тогда назвать "морфизмом идентичности для а в CКоммутативность последних двух диаграмм - это тогда утверждение, что композиции (как они определены функциями °), включающие эти выделенные индивидуальные морфизмы идентичности в C"вести себя точно в соответствии с правилами идентификации обычных категорий.

Обратите внимание, что здесь упоминается несколько различных понятий «идентичность»:

то моноидальный объект идентичности $я$ из M, являясь тождеством для только в моноид -теоретический смысл, да и то только с точностью до канонического изоморфизма $(λ, ρ)$ .
то морфизм идентичности $1 C (а, б) : C (а, б) \to C (а, б)$ который M имеет для каждого из своих объектов в силу того, что он (по крайней мере) обычная категория.
то обогащенная категориальная идентичность $я бы а : я \to C (а, а)$ для каждого объекта а в C, который снова является морфизмом M что даже в случае, когда C является считается, что он имеет собственные индивидуальные морфизмы, не обязательно идентифицирующий конкретный.

Примеры обогащенных категорий

Обычные категории - это категории, обогащенные (Набор, ×, {•}), категория наборов с Декартово произведение как моноидальная операция, как отмечалось выше.
2-категории категории обогащены Кот, то категория малых категорий, с моноидальной структурой, заданной декартовым произведением. В этом случае 2-клетки между морфизмами а → б и связывающее их правило вертикальной композиции соответствуют морфизмам обычной категории C(а, б) и собственное правило композиции.
Локально небольшие категории категории, обогащенные (SmSet, ×), категория маленькие наборы с декартовым произведением в качестве моноидальной операции. (Локально малая категория - это категория, гом-объекты которой являются малыми множествами.)
Локально конечные категории, по аналогии, категории, обогащенные над (FinSet, ×), категория конечные множества с декартовым произведением в качестве моноидальной операции.
Предварительно заказанные наборы категории, обогащенные над определенной моноидальной категорией, 2, состоящий из двух объектов и одной неединичной стрелки между ними, которую мы можем записать как ЛОЖНЫЙ → ИСТИННЫЙ, конъюнкция как моноидная операция, и ИСТИННЫЙ как его моноидальная идентичность. Хом-объекты 2(а, б) затем просто отрицать или подтверждать конкретное бинарное отношение для данной пары объектов (а, б); для более привычных обозначений это соотношение можно записать как $а \leq б$ . Наличие композиций и идентичности, необходимых для категории, обогащенной более 2 немедленно переведем на следующие аксиомы соответственно

а ≤ б и б ≤ c ⇒ а ≤ c (транзитивность)

ИСТИННЫЙ ⇒ а ≤ а (рефлексивность)

которые являются не чем иным, как аксиомами, что ≤ является предпорядком. А поскольку все диаграммы в 2 добираться, это единственный содержание аксиом обогащенных категорий для категорий, обогащенных более 2.

Уильям Ловер обобщенные метрические пространства, также известные как псевдоквазиметрические пространства, - категории, обогащенные неотрицательными расширенными действительными числами $р +\infty$ , где последней задается обычная структура категории через обратную ее обычному порядку (т.е. существует морфизм р → s если только р ≥ s) и моноидальной структуры через сложение (+) и нуль (0). Хом-объекты $р +\infty (а, б)$ суть расстояния d (а, б), а существование композиции и идентичности переводится как

d (б, c) + d (а, б) ≥ d (а, c) (неравенство треугольника)

0 ≥ d (а, а)

Категории с нулевые морфизмы категории, обогащенные (Набор*, ∧) категория отмеченных множеств с разбить продукт как моноидальная операция; особая точка гом-объекта Hom (А, B) соответствует нулевому морфизму из А к B.
Категория Ab из абелевы группы и категория R-Mod из модули через коммутативное кольцо, а категория Vect из векторные пространства над данным поле обогащаются над собой, причем морфизмы наследуют алгебраическую структуру «поточечно». В более общем смысле, предаддитивные категории категории, обогащенные (Ab, ⊗) с тензорное произведение как моноидальную операцию (если рассматривать абелевы группы как Z-модули).

Связь с моноидальными функторами

Если есть моноидальный функтор из моноидальной категории M в моноидальную категорию N, то любая категория, обогащенная более M может быть интерпретирован как категория, обогащенная N. Каждая моноидальная категория M имеет моноидальный функтор M(я, -) в категорию множеств, поэтому любая расширенная категория имеет основную обычную категорию. Во многих примерах (например, приведенных выше) этот функтор верный, поэтому категория, обогащенная M можно описать как обычную категорию с определенной дополнительной структурой или свойствами.

Обогащенные функторы

An обогащенный функтор является подходящим обобщением понятия функтор в обогащенные категории. Обогащенные функторы затем отображают между обогащенными категориями, которые уважают обогащенную структуру.

Если C и D находятся M-категории (то есть категории, обогащенные над моноидальной категорией M), M-обогащенный функтор Т: C → D это карта, которая назначает каждому объекту C объект D и для каждой пары объектов а и б в C обеспечивает морфизм в M Т_ab : C(а, б) → D(Т(а), Т(б)) между гом-объектами C и D (которые являются объектами в M), удовлетворяющие расширенным версиям аксиом функтора, а именно сохранению тождественности и композиции.

Поскольку гом-объекты не обязательно должны быть множествами в обогащенной категории, нельзя говорить о конкретном морфизме. Больше нет ни понятия тождественного морфизма, ни особой композиции двух морфизмов. Вместо этого морфизмы из единицы в гом-объект следует рассматривать как выбор идентичности, а морфизмы из моноидального продукта следует рассматривать как композицию. Обычные функториальные аксиомы заменяются соответствующими коммутативными диаграммами, включающими эти морфизмы.

В деталях видно, что диаграмма

коммутирует, что составляет уравнение

{ displaystyle T_ {aa} circ operatorname {id} _ {a} = operatorname {id} _ {T (a)},}

куда я является единичным объектом M. Это аналог правила F(я бы_а) = id_F(а) для обычных функторов. Дополнительно требуется, чтобы диаграмма

коммутируют, что аналогично правилу F(фг)=F(ж)F(грамм) для обычных функторов.

Обогащенная категория - Enriched category

Содержание

Определение

Примеры обогащенных категорий

Связь с моноидальными функторами

Обогащенные функторы

Смотрите также

Рекомендации