Полуабелева категория - Semi-abelian category

В математика особенно в теория категорий, а полуабелева категория это преабелева категория в котором индуцированный морфизм ${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f}$ это биморфизм, т.е. мономорфизм и эпиморфизм, для каждого морфизма ${\displaystyle f}$.

Характеристики

Два свойства, использованные в определении, можно охарактеризовать несколькими эквивалентными условиями.^[1]

Каждая полуабелева категория имеет максимальная точная структура.

Если полуабелева категория не квазиабелев, то класс всех пар ядро-коядро не образует точная структура.

Примеры

Каждый квазиабелева категория полуабелева. В частности, каждый абелева категория полуабелева. Неквазибелевы примеры следующие.

• Категория (возможно, не Хаусдорф ) борнологические пространства полуабелева.^[2][3][4]
• Позволять ${\displaystyle Q}$ быть колчан

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}1&{\xrightarrow {}}&2&{\xleftarrow {}}&3\\\downarrow {}&&\downarrow {}&&\downarrow {}\\4&{\xrightarrow {}}&5&{\xleftarrow {}}&6\\\end{array}}}$

и ${\displaystyle k}$ быть полем. Категория конечно порожденный проективный модули над алгеброй ${\displaystyle kQ}$ полуабелева.^[5]

История

Концепция полуабелевой категории была разработана в 1960-х годах. Райков предположил что понятие квазиабелева категория эквивалентно полуабелевой категории. Примерно в 2005 году выяснилось, что это предположение неверно.^[6]

Левая и правая полуабелевы категории

Разделив два условия на индуцированное отображение в определении, можно определить левые полуабелевы категории требуя, чтобы ${\displaystyle {\overline {f}}}$ является мономорфизмом для каждого морфизма ${\displaystyle f}$. Соответственно, правые квазиабелевы категории - преабелевы категории такие, что ${\displaystyle {\overline {f}}}$ является эпиморфизмом для каждого морфизма ${\displaystyle f}$.^[7]

Если категория полуабелева слева и правый квазиабелев, то он уже квазиабелева. То же самое верно, если категория полуабелева справа и квазиабелева слева.^[8]

Цитаты

1. Копылов и др. др., 2012.
2. Bonet et. др., 2004/2005.
3. Sieg et. др., 2011, Пример 4.1.
4. Круп, 2011, стр. 44.
5. Румп, 2008, стр. 993.
6. Круп, 2011, стр. 44f.
7. Крупа, 2001.
8. Крупа, 2001.

Рекомендации

• Хосе Боне, J., Susanne Dierolf, Откат для борнологических и ультраборнологических пространств. Примечание Мат. 25 (1), 63–67 (2005/2006).
• Ярослав Копылов, Свен-Аке Вегнер, О понятии полуабелевой категории по Паламодову, Прикл. Категория Структуры 20 (5) (2012) 531–541.
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Бюл. Лондонская математика. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42 (3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Рамп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочкообразным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Алгебра 215 (2011), 44–52.
• Деннис Зиг и Свен-Аке Вегнер, Максимальные точные структуры на аддитивных категориях, Math. Nachr. 284 (2011), 2093–2100.