Представимый функтор - Representable functor

В математика, особенно теория категорий, а представимый функтор это определенный функтор из произвольного категория в категория наборов. Такие функторы дают представление абстрактной категории в терминах известных структур (т.е. наборы и функции ) позволяя максимально использовать знания о категории наборов в других параметрах настройки.

С другой точки зрения, представимые функторы категории C являются функторами данный с C. Их теория представляет собой обширное обобщение верхние наборы в позы, и из Теорема Кэли в теория групп.

Определение

Позволять C быть местная малая категория и разреши Набор быть категория наборов. Для каждого объекта А из C пусть Hom (А,-) быть хом функтор который отображает объект Икс множеству Hom (А,Икс).

А функтор F : C → Набор как говорят представимый если это естественно изоморфный в Хом (А, -) для некоторого объекта А из C. А представление из F пара (А, Φ) где

Φ: Hom (А,–) → F

является естественным изоморфизмом.

А контравариантный функтор грамм из C к Набор это то же самое, что и функтор грамм : C^op → Набор и обычно называется предпучка. Предпучок представим, если он естественно изоморфен контравариантному гом-функтору Hom (-,А) для некоторого объекта А из C.

Универсальные элементы

В соответствии с Лемма Йонеды, естественные преобразования из Hom (А,-) к F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F(А). Для естественного преобразования Φ: Hom (А,–) → F соответствующий элемент ты ∈ F(А) дан кем-то

{ displaystyle u = Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A}). ,}

И наоборот, для любого элемента ты ∈ F(А) можно определить естественное преобразование Φ: Hom (А,–) → F через

{ Displaystyle Phi _ {X} (е) = (Ff) (и) ,}

куда ж является элементом Hom (А,Икс). Чтобы получить представление о F мы хотим знать, когда естественное преобразование, вызванное ты является изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:

А универсальный элемент функтора F : C → Набор пара (А,ты) состоящий из объекта А из C и элемент ты ∈ F(А) такая, что для каждой пары (Икс,v) с v ∈ F(Икс) существует единственный морфизм ж : А → Икс такой, что (Ff)ты = v.

Универсальный элемент можно рассматривать как универсальный морфизм от одноточечного множества {•} к функтору F или как исходный объект в категория элементов из F.

Естественное преобразование, индуцированное элементом ты ∈ F(А) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда (А,ты) является универсальным элементом F. Таким образом, мы заключаем, что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F. По этой причине принято называть универсальные элементы (А,ты) как представления.

Примеры

Рассмотрим контравариантный функтор п : Набор → Набор который сопоставляет каждый набор с его набор мощности и каждая функция к своему обратное изображение карта. Для представления этого функтора нам понадобится пара (А,ты) куда А это набор и ты это подмножество А, т.е. элемент п(А) такая, что для всех множеств Икс, гом-множество Hom (Икс,А) изоморфна п(Икс) через Φ_Икс(ж) = (ПФ)ты = ж⁻¹(ты). Брать А = {0,1} и ты = {1}. Учитывая подмножество S ⊆ Икс соответствующая функция из Икс к А это характеристическая функция из S.
Забывчивые функторы к Набор очень часто представимы. В частности, забывчивый функтор представлен (А, ты) в любое время А это свободный объект через одноэлементный набор с генератором ты.
- Забывчивый функтор Grp → Набор на категория групп представлен (Z, 1).
- Забывчивый функтор Звенеть → Набор на категория колец представлен (Z[Икс], Икс), кольцо многочленов в одной Переменная с целое число коэффициенты.
- Забывчивый функтор Vect → Набор на категория вещественных векторных пространств представлен (р, 1).
- Забывчивый функтор Вершина → Набор на категория топологических пространств представлен любым одноэлементным топологическим пространством с его уникальным элементом.
А группа грамм можно считать категорией (даже группоид ) с одним объектом, который обозначим через •. Функтор от грамм к Набор тогда соответствует грамм-набор. Единственный гом-функтор Hom (•, -) из грамм к Набор соответствует каноническому грамм-набор грамм с действием умножения слева. Стандартные рассуждения теории групп показывают, что функтор из грамм к Набор представима тогда и только тогда, когда соответствующий грамм-множество просто транзитивно (т.е. грамм-торсор или же куча ). Выбор представления сводится к выбору идентификатора для кучи.
Позволять C быть категорией CW-комплексы с морфизмами, заданными гомотопическими классами непрерывных функций. Для каждого натурального числа п существует контравариантный функтор ЧАС^п : C → Ab который присваивает каждому CW-комплексу свой п^th группа когомологий (с целыми коэффициентами). Составив это с забывчивый функтор у нас есть контравариантный функтор из C к Набор. Теорема Брауна о представимости в алгебраической топологии говорит, что этот функтор представлен CW-комплексом K(Z,п) назвал Пространство Эйленберга – Маклейна.
Позволять р коммутативное кольцо с единицей, и пусть р-Мод быть категорией р-модули. Если M и N являются унитарными модулями над р, существует ковариантный функтор B: р-Мод → Набор который присваивает каждому р-модуль п набор р-билинейные карты M × N → п и каждому р-модульный гомоморфизм ж : п → Q функция B(ж) : B(п) → B(Q), который отправляет каждое билинейное отображение грамм : M × N → п на билинейную карту ж∘грамм : M × N→Q. Функтор B представлен р-модуль M ⊗_р N^[1].

Характеристики

Уникальность

Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если (А₁, Φ₁) и (А₂, Φ₂) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: А₁ → А₂ такой, что

{ Displaystyle Phi _ {1} ^ {- 1} circ Phi _ {2} = mathrm {Hom} ( varphi, -)}

как естественные изоморфизмы из Hom (А₂, -) в Hom (А₁, -). Этот факт легко следует из Лемма Йонеды.

Формулируется в терминах универсальных элементов: если (А₁,ты₁) и (А₂,ты₂) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: А₁ → А₂ такой, что

{ displaystyle (F varphi) u_ {1} = u_ {2}.}

Сохранение лимитов

Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, обладают своими свойствами. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохранять все ограничения. Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторого предела, непредставим.

Контравариантные представимые функторы доводят копределы до пределов.

Левый смежный

Любой функтор K : C → Набор с левый смежный F : Набор → C представлен (FX, η_Икс(•)) куда Икс = {•} является одноэлементный набор а η - единица присоединения.

Наоборот, если K представлен парой (А, ты) и все мелкие Coowers из А существовать в C тогда K имеет левый сопряженный F который отправляет каждый набор я к ятая сила А.

Следовательно, если C - категория со всеми малыми степенями, функтор K : C → Набор представима тогда и только тогда, когда она имеет левое сопряжение.

Связь с универсальными морфизмами и сопряженными

Категорические представления о универсальные морфизмы и присоединенные функторы оба могут быть выражены с помощью представимых функторов.

Позволять грамм : D → C быть функтором и пусть Икс быть объектом C. Потом (А, φ) - универсальный морфизм из Икс к грамм если и только если (А, φ) - представление функтора Hom_C(Икс,грамм-) из D к Набор. Следует, что грамм имеет сопряженный слева F тогда и только тогда, когда Hom_C(Икс,грамм-) представима для всех Икс в C. Естественный изоморфизм Φ_Икс : Hom_D(FX, -) → Hom_C(Икс,грамм-) дает сопряженность; то есть

{ displaystyle Phi _ {X, Y} двоеточие mathrm {Hom} _ { mathcal {D}} (FX, Y) to mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, GY )}

биекция для всех Икс и Y.

Двойственные утверждения также верны. Позволять F : C → D быть функтором и пусть Y быть объектом D. Потом (А, φ) - универсальный морфизм из F к Y если и только если (А, φ) - представление функтора Hom_D(F–,Y) из C к Набор. Следует, что F имеет правосопряженный грамм тогда и только тогда, когда Hom_D(F–,Y) представима для всех Y в D.