Теорема плотности (теория категорий) - Density theorem (category theory)

В теория категорий, раздел математики, теорема плотности заявляет, что каждый предпучка наборов это копредел из представимые предварительные пучки каноническим способом.[1]

Например, по определению симплициальный набор является предпучком на симплексной категории Δ, а представимое симплициальное множество в точности имеет вид (называется стандартом п-симплекс), как гласит теорема: для каждого симплициального множества Икс,

где colim пробегает индексную категорию, определяемую Икс.

Заявление

Позволять F быть первым в категории C; т.е. объект категория функторов . Для категории индекса, по которой будет работать копредел, пусть я быть категория элементов из F: это категория, в которой

  1. объект - это пара состоящий из объекта U в C и элемент ,
  2. морфизм состоит из морфизма в C такой, что

Он поставляется с забывчивым функтором .

потом F является копределом диаграмма (т.е. функтор)

где вторая стрелка - это Йонеда вложение: .

Доказательство

Позволять ж обозначают приведенную выше диаграмму. Чтобы показать копредел ж является F, нам нужно показать: для каждого предпучка грамм на C, существует естественная биекция:

куда это постоянный функтор со значением грамм а Hom справа означает множество естественных преобразований. Это потому, что универсальное свойство копредела сводится к утверждению является левым сопряженным к диагональному функтору

Для этого пусть быть естественным преобразованием. Это семейство морфизмов, индексируемых объектами в я:

который удовлетворяет свойству: для каждого морфизма в я, (поскольку )

Лемма Йонеды утверждает, что существует естественная биекция . В соответствии с этим предубеждением соответствует уникальному элементу . У нас есть:

поскольку, согласно лемме Йонеды, соответствует

Теперь для каждого объекта U в C, позволять быть функцией, заданной . Это определяет естественное преобразование ; действительно, для каждого морфизма в я, у нас есть:

поскольку . Ясно, что конструкция обратимо. Следовательно, необходимая естественная биекция.

Примечания

  1. ^ Mac Lane, Глава III, § 7, теорема 1.

Рекомендации

  • Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.CS1 maint: ref = harv (связь)