Теорема плотности (теория категорий) - Density theorem (category theory)

В теория категорий, раздел математики, теорема плотности заявляет, что каждый предпучка наборов это копредел из представимые предварительные пучки каноническим способом.^[1]

Например, по определению симплициальный набор является предпучком на симплексной категории Δ, а представимое симплициальное множество в точности имеет вид ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} (-,[n])}$ (называется стандартом п-симплекс), как гласит теорема: для каждого симплициального множества Икс,

${\displaystyle X\simeq \varinjlim \Delta ^{n}}$

где colim пробегает индексную категорию, определяемую Икс.

Заявление

Позволять F быть первым в категории C; т.е. объект категория функторов ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$. Для категории индекса, по которой будет работать копредел, пусть я быть категория элементов из F: это категория, в которой

1. объект - это пара ${\displaystyle (U,x)}$ состоящий из объекта U в C и элемент ${\displaystyle x\in F(U)}$,
2. морфизм ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ состоит из морфизма ${\displaystyle u:U\to V}$ в C такой, что ${\displaystyle (Fu)(y)=x.}$

Он поставляется с забывчивым функтором ${\displaystyle p:I\to C}$.

потом F является копределом диаграмма (т.е. функтор)

${\displaystyle I{\overset {p}{\to }}C\to {\widehat {C}}}$

где вторая стрелка - это Йонеда вложение: ${\displaystyle U\mapsto h_{U}=\operatorname {Hom} (-,U)}$.

Доказательство

Позволять ж обозначают приведенную выше диаграмму. Чтобы показать копредел ж является F, нам нужно показать: для каждого предпучка грамм на C, существует естественная биекция:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})}$

куда ${\displaystyle \Delta _{G}}$ это постоянный функтор со значением грамм а Hom справа означает множество естественных преобразований. Это потому, что универсальное свойство копредела сводится к утверждению ${\displaystyle \varinjlim -}$ является левым сопряженным к диагональному функтору ${\displaystyle \Delta _{-}.}$

Для этого пусть ${\displaystyle \alpha :f\to \Delta _{G}}$ быть естественным преобразованием. Это семейство морфизмов, индексируемых объектами в я:

${\displaystyle \alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}$

который удовлетворяет свойству: для каждого морфизма ${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$ в я, ${\displaystyle \alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}}$(поскольку ${\displaystyle f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.}$)

Лемма Йонеды утверждает, что существует естественная биекция ${\displaystyle G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)}$. В соответствии с этим предубеждением ${\displaystyle \alpha _{U,x}}$ соответствует уникальному элементу ${\displaystyle g_{U,x}\in G(U)}$. У нас есть:

${\displaystyle (Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}}$

поскольку, согласно лемме Йонеды, ${\displaystyle Gu:G(V)\to G(U)}$ соответствует ${\displaystyle -\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).}$

Теперь для каждого объекта U в C, позволять ${\displaystyle \theta _{U}:F(U)\to G(U)}$ быть функцией, заданной ${\displaystyle \theta _{U}(x)=g_{U,x}}$. Это определяет естественное преобразование ${\displaystyle \theta :F\to G}$; действительно, для каждого морфизма ${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$ в я, у нас есть:

${\displaystyle (Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y),}$

поскольку ${\displaystyle (Fu)(y)=x}$. Ясно, что конструкция ${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$ обратимо. Следовательно, ${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$ необходимая естественная биекция.

Примечания

1. Mac Lane, Глава III, § 7, теорема 1. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMac_Lane (помощь)

Рекомендации

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.