Теорема Браунса о представимости - Browns representability theorem

В математике Теорема Брауна о представимости в теория гомотопии^[1] дает необходимые и достаточные условия для контравариантный функтор F на гомотопическая категория Hotc остроконечных связанных Комплексы CW, в категория наборов Набор, быть представимый функтор.

Более конкретно, нам дается

F: Hotc^op → Набор,

и есть некоторые заведомо необходимые условия для F быть типа Hom(—, C), с C точечно связанный CW-комплекс, который может быть выведен из теория категорий один. Формулировка основной части теоремы состоит в том, что этих необходимых условий тогда достаточно. По техническим причинам теорема часто формулируется для функторов категории заостренные наборы; другими словами, наборы также получают базовую точку.

Теорема Брауна о представимости комплексов CW

Теорема представимости комплексов CW в силу Эдгар Х. Браун,^[2] следующее. Предположим, что:

1. Функтор F карты побочные продукты (т.е. клин суммы ) в Hotc к продуктам в Набор: ${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. Функтор F карты гомотопические выталкивания в Hotc к слабые откаты. Это часто называют Майер – Виеторис аксиома: для любого комплекса CW W покрывается двумя подкомплексами U и V, и любые элементы ты ∈ F(U), v ∈ F(V) такие, что ты и v ограничить одним и тем же элементом F(U ∩ V) есть элемент ш ∈ F(W) ограничиваясь ты и v, соответственно.

потом F представима некоторым CW комплексом C, то есть существует изоморфизм

F(Z) ≅ Hom_Hotc(Z, C)

для любого комплекса CW Z, который естественный в Z в этом для любого морфизма от Z к другому комплексу CW Y индуцированные отображения F(Y) → F(Z) и Hom_{Горячей}(Y, C) → Hom_{Горячей}(Z, C) согласованы с этими изоморфизмами.

Верно и обратное утверждение: любой функтор, представленный комплексом CW, удовлетворяет двум указанным выше свойствам. Это направление является непосредственным следствием базовой теории категорий, поэтому более глубокая и интересная часть эквивалентности - это другое следствие.

Представляющий объект C можно показать, что выше функториально зависит от F: любой естественная трансформация из F в другой функтор, удовлетворяющий условиям теоремы, обязательно индуцирует отображение представляющих объектов. Это следствие Лемма Йонеды.

Принимая F(Икс) быть особые когомологии группа ЧАС^я(Икс,А) с коэффициентами в данной абелевой группе А, для фиксированных я > 0; тогда представляющее пространство для F это Пространство Эйленберга – Маклейна K(А, я). Это дает возможность показать существование пространств Эйленберга-Маклейна.

Варианты

Поскольку гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна локализации категории всех топологических пространств в слабые гомотопические эквивалентности, теорема может быть эквивалентна для функторов в категории, определенной таким образом.

Однако теорема неверна без ограничения на связаны заостренные пространства, и аналогичное утверждение для неточечных пространств также неверно.^[3]

Однако аналогичное утверждение верно для спектры взамен комплексов CW. Браун также доказал общую категоричную версию теоремы о представимости:^[4] который включает как версию для точечно связанных комплексов CW, так и версию для спектров.

Вариант теоремы представимости в случае триангулированные категории принадлежит Амнону Ниману.^[5] Вместе с предыдущим замечанием он дает критерий (ковариантного) функтора F: C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющими определенным техническим условиям, чтобы иметь право присоединенный функтор. А именно, если C и D триангулированные категории с C компактно генерируемые и F триангулированный функтор, коммутирующий с произвольными прямыми суммами, то F является левым сопряженным. Ниман применил это к доказательству Теорема двойственности Гротендика в алгебраической геометрии.

Джейкоб Лурье доказал версию теоремы Брауна о представимости^[6] для гомотопической категории точечного квазикатегория с компактным набором образующих, которые являются объектами когруппы в гомотопической категории. Например, это относится к гомотопической категории точечно связанных комплексов CW, а также к неограниченным производная категория абелевой категории Гротендика (ввиду более высокого категориального уточнения производной категории Лурье).

Рекомендации

1. Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология --- гомотопия и гомологии, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42750-6, МИСТЕР  1886843, см. страницы 152–157
2. Браун, Эдгар Х. (1962), "Теории когомологий", Анналы математики, Вторая серия, 75: 467–484, Дои:10.2307/1970209, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970209, МИСТЕР  0138104
3. Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), "Расщепление гомотопических идемпотентов. II.", Журнал чистой и прикладной алгебры, 89 (1–2): 93–106, Дои:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-б
4. Браун, Эдгар Х. (1965), «Абстрактная теория гомотопии», Труды Американского математического общества, 119 (1): 79–85, Дои:10.2307/1994231
5. Нееман, Амнон (1996), "Теорема двойственности Гротендика через методы Боусфилда и представимость Брауна", Журнал Американского математического общества, 9 (1): 205–236, Дои:10.1090 / S0894-0347-96-00174-9, ISSN  0894-0347, МИСТЕР  1308405
6. Лурье, Джейкоб (2011), Высшая алгебра (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2011-06-09