Сумма клина - Wedge sum

Сумма клина двух окружностей

В топология, то сумма клина представляет собой «одноточечный союз» семейства топологические пространства. В частности, если Икс и Y находятся заостренные места (т.е. топологические пространства с выделенными базовыми точками Икс₀ и y₀) сумма клина Икс и Y это факторное пространство из несвязный союз из Икс и Y по идентификации Икс₀ ∼ y₀:

${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$

где ∼ - закрытие эквивалентности отношения {(Икс₀,y₀)} В общем случае предположим (Икс_я )_я ∈ я это семья заостренных пространств с базовыми точками {п_я }. Сумма клина семьи определяется как:

${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$

где ∼ - замыкание эквивалентности отношения {(п_я , п_j ) | я, j ∈ я }. Другими словами, сумма клина - это соединение нескольких пространств в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек {п_я}, если только пробелы {Икс_я } находятся однородный.

Сумма клина снова представляет собой заостренное пространство, а двоичная операция ассоциативный и коммутативный (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда сумму клина называют клин, но это не то же самое, что внешний продукт, который также часто называют клиновым продуктом.

Примеры

Сумма клина двух окружностей равна гомеоморфный к восьмерка. Сумма клина п круги часто называют букет кругов, а произведение клина произвольных сфер часто называют букет сфер.

Обычная конструкция в гомотопия состоит в том, чтобы идентифицировать все точки вдоль экватора п-сфера ${\displaystyle S^{n}}$. В результате получатся две копии сферы, соединенные в точке экватора:

${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}}$

Позволять ${\displaystyle \Psi }$ быть картой ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}$, то есть отождествление экватора до одной точки. Затем сложение двух элементов ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ из п-размерный гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ пространства Икс в отмеченной точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ можно понимать как состав ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ с участием ${\displaystyle \Psi }$:

${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi }$

Вот, ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ карты, которые принимают выделенную точку ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ к точке ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ Обратите внимание, что выше используется сумма клина двух функций, что возможно именно потому, что они согласуются в ${\displaystyle s_{0},}$ точка, общая для суммы клина нижележащих пространств.

Категориальное описание

Сумму клина можно понимать как сопродукт в категория остроконечных пространств. В качестве альтернативы, сумму клина можно рассматривать как выталкивание диаграммы Икс ← {•} → Y в категория топологических пространств (где {•} - любое одноточечное пространство).

Свойства

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для хорошо воспитанный пространства, такие как Комплексы CW ) при котором фундаментальная группа суммы клина двух пространств Икс и Y это бесплатный продукт фундаментальных групп Икс и Y.

Смотрите также

• Разбить продукт
• Гавайская серьга, топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, сумму клина счетного числа окружностей

использованная литература

• Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию, Springer, 2004, стр. 153. ISBN  0-387-96678-1