Полные и точные функторы - Full and faithful functors

В теория категорий, а верный функтор (соответственно полный функтор) это функтор то есть инъективный (соответственно сюръективный ) при ограничении каждым набором морфизмы которые имеют заданный источник и цель.

Формальные определения

Ясно, пусть C и D быть (местно маленький ) категории и разреши F : C → D быть функтором от C к D. Функтор F индуцирует функцию

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

для каждой пары объектов Икс и Y в C. Функтор F как говорят

• верный если F_Икс,Y является инъективный^[1][2]
• полный если F_Икс,Y является сюръективный^[2][3]
• полностью верный (= полный и верный) если F_Икс,Y является биективный

для каждого Икс и Y в C.

Характеристики

Точный функтор не обязательно должен быть инъективным для объектов или морфизмов. То есть два объекта Икс и Икс′ Может отображаться на один и тот же объект в D (вот почему образ полного и точного функтора не обязательно изоморфен C) и два морфизма ж : Икс → Y и ж′ : Икс′ → Y′ (С разными доменами / кодоменами) могут отображаться в один и тот же морфизм в D. Точно так же полный функтор не обязательно должен быть сюръективным для объектов или морфизмов. В D не в форме FX для некоторых Икс в C. Очевидно, что морфизмы между такими объектами не могут происходить из морфизмов в C.

Полный и точный функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма. То есть, если F : C → D является полным и точным функтором и ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$ тогда ${\displaystyle X\cong Y}$.

Примеры

• В забывчивый функтор U : Grp → Набор является точным, поскольку два гомоморфизма групп с одинаковыми областями и областями области равны, если они задаются одними и теми же функциями на базовых множествах. Этот функтор неполон, поскольку между базовыми наборами группы это не групповые гомоморфизмы. Категория с точным функтором Набор является (по определению) конкретная категория; в общем, этот забывчивый функтор неполон.
• Функтор включения Ab → Grp полностью верен, так как Ab по определению полная подкатегория из Grp индуцированы абелевыми группами.

Обобщение на (∞, 1) -категории

Понятие «полный» или «верный» функтор не переводится в понятие (∞, 1) -категория. В (∞, 1) -категории отображения между любыми двумя объектами задаются пространством только с точностью до гомотопии. Поскольку понятия инъекции и сюръекции не являются гомотопически инвариантными понятиями (рассмотрим вложение интервала в действительные числа и отображение интервала в точку), у нас нет понятия «полный» или «точный» функтор. Однако мы можем определить функтор квазикатегорий как полностью верный если для каждого Икс и Y в C, карта ${\displaystyle F_{X,Y}}$это слабая эквивалентность.

Смотрите также

• Полная подкатегория
• Эквивалентность категорий

Примечания

1. Мак-Лейн (1971), стр. 15
2. Якобсон (2009), стр. 22
3. Мак-Лейн (1971), стр. 14

Рекомендации

• Мак-Лейн, Сондерс (Сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7.