Слабая эквивалентность (теория гомотопии) - Weak equivalence (homotopy theory)

В математика, а слабая эквивалентность это понятие от теория гомотопии это в некотором смысле идентифицирует объекты, имеющие одинаковую «форму». Это понятие формализовано в аксиоматический определение категория модели.

Категория модели - это категория с классами морфизмы называемые слабыми эквивалентностями, расслоения, и кофибрации, удовлетворяющий нескольким аксиомам. Связанный гомотопическая категория модельной категории имеет те же объекты, но морфизмы изменены, чтобы сделать слабые эквивалентности в изоморфизмы. Полезное наблюдение, что ассоциированная гомотопическая категория зависит только от слабых эквивалентностей, а не от расслоений и корасслоений.

Топологические пространства

Категории моделей были определены Quillen как аксиоматизация теории гомотопии, которая применяется к топологические пространства, но также и во многие другие категории в алгебра и геометрия. Примером, с которого началась тема, является категория топологических пространств с Расслоения Серра как расслоения и слабые гомотопические эквивалентности как слабые эквивалентности (кофибрации для этой модельной структуры можно описать как убирает относительных клеточных комплексов Икс ⊆ Y^[1]). По определению непрерывное отображение ж: Икс → Y пространств называется слабой гомотопической эквивалентностью, если индуцированная функция на множествах компоненты пути

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$

является биективный, и для каждой точки Икс в Икс и каждый п ≥ 1 индуцированная гомоморфизм

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x))}$

на гомотопические группы биективен. (За Икс и Y соединенный путём, первое условие автоматическое, а второе условие достаточно сформулировать для одной точки Икс в Икс.)

За односвязный топологические пространства Икс и Y, карта ж: Икс → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированный гомоморфизм ж_*: ЧАС_п(Икс,Z) → ЧАС_п(Y,Z) на особые гомологии группы биективны для всех п.^[2] Аналогичным образом для односвязных пространств Икс и Y, карта ж: Икс → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда гомоморфизм обратного образа ж*: ЧАС^п(Y,Z) → ЧАС^п(Икс,Z) на особые когомологии биективен для всех п.^[3]

Пример: пусть Икс - множество натуральных чисел {0, 1, 2, ...} и пусть Y - множество {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальная линия. Определять ж: Икс → Y отображая 0 в 0 и п к 1 /п для положительных целых чисел п. потом ж непрерывна и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не является гомотопическая эквивалентность.

Гомотопическая категория топологических пространств (полученная путем обращения слабых гомотопических эквивалентностей) значительно упрощает категорию топологических пространств. Действительно, эта гомотопическая категория эквивалент в категорию Комплексы CW с морфизмами гомотопические классы непрерывных отображений.

Также были рассмотрены многие другие модельные структуры в категории топологических пространств. Например, в структуре модели Стрёма на топологических пространствах расслоения являются Расслоения Гуревича а слабые эквивалентности - это гомотопические эквивалентности.^[4]

Цепные комплексы

Некоторые другие важные категории моделей включают цепные комплексы. Позволять А быть Абелева категория Гротендика, например, категория модули через звенеть или категория снопы из абелевы группы на топологическом пространстве. Определите категорию C(А) с объектами комплексы Икс объектов в А,

${\displaystyle \cdots \to X_{1}\to X_{0}\to X_{-1}\to \cdots ,}$

и морфизирует цепные карты. (Это равносильно рассмотрению «коцепных комплексов» объектов А, где нумерация записывается как

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\to X^{0}\to X^{1}\to \cdots ,}$

просто определяя Икс^я = Икс_−я.)

Категория C(А) имеет модельную структуру, в которой кофибрации являются мономорфизмы а слабые эквиваленты - это квазиизоморфизмы.^[5] По определению цепное отображение ж: Икс → Y является квазиизоморфизмом, если индуцированный гомоморфизм

${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)}$

на гомология является изоморфизмом для всех целых чисел п. (Здесь ЧАС_п(Икс) является объектом А определяется как ядро из Икс_п → Икс_п−1 по модулю изображение из Икс_п+1 → Икс_п.) Полученная гомотопическая категория называется производная категория D(А).

Тривиальные расслоения и тривиальные корасслоения

В любой модельной категории расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется расслоением. банальный (или же ациклический) расслоение. Кослоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется банальный (или же ациклический) кофибрация.

Примечания

1. Хови (1999), определение 2.4.3.
2. Хэтчер (2002), теорема 4.32.
3. Существует ли теорема Уайтхеда для теории когомологий?
4. Стрём (1972).
5. Беке (2000), предложение 3.13.

Рекомендации

• Беке, Тибор (2000), "Сложимые категории гомотопических моделей", Математические труды Кембриджского философского общества, 129: 447–473, arXiv:математика / 0102087, Bibcode:2000MPCPS.129..447B, Дои:10.1017 / S0305004100004722, МИСТЕР  1780498
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0, МИСТЕР  1867354
• Хови, Марк (1999), Категории моделей (PDF), Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1359-5, МИСТЕР  1650134
• Стрём, Арне (1972), "Гомотопическая категория является гомотопической категорией", Archiv der Mathematik, 23: 435–441, Дои:10.1007 / BF01304912, МИСТЕР  0321082