Однородное координатное кольцо - Homogeneous coordinate ring

В алгебраическая геометрия, то однородное координатное кольцо р из алгебраическое многообразие V данный как подмножество из проективное пространство данного измерения N по определению кольцо частного

р = K[Икс₀, Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N] / я

куда я это однородный идеал определение V, K это алгебраически замкнутое поле в течение которого V определено, и

K[Икс₀, Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N]

это кольцо многочленов в N + 1 переменная Икс_я. Таким образом, кольцо многочленов является однородным координатным кольцом самого проективного пространства, а переменными являются однородные координаты, при заданном выборе базиса (в векторное пространство лежащая в основе проективного пространства). Выбор основы означает, что это определение не является внутренним, но его можно сделать так, используя оператор симметрическая алгебра.

Формулировка

С V считается разновидностью, и поэтому неприводимое алгебраическое множество, идеал я может быть выбран в качестве главный идеал, и так р является область целостности. То же определение можно использовать для общих однородных идеалов, но полученные координатные кольца могут тогда содержать ненулевые нильпотентные элементы и другие делители нуля. С точки зрения теория схем эти дела могут рассматриваться на той же основе с помощью Строительство проекта.

В неуместный идеал J генерируется всеми Икс_я соответствует пустому множеству, поскольку не все однородные координаты могут обращаться в нуль в точке проективного пространства.

В проективный Nullstellensatz дает биективное соответствие между проективными многообразиями и однородными идеалами я не содержащий J.

Резолюции и сизигии

В применении гомологическая алгебра методы алгебраической геометрии, это было традиционным с Дэвид Гильберт (хотя современная терминология отличается) применять бесплатные разрешения из р, рассматриваемый как градуированный модуль над кольцом многочленов. Это дает информацию о сизигии, а именно отношения между образующими идеального я. С классической точки зрения, такие генераторы - это просто уравнения, которые нужно записать для определения V. Если V это гиперповерхность должно быть только одно уравнение, а для полные пересечения число уравнений можно принять за коразмерность; но общее проективное многообразие не имеет столь прозрачной определяющей системы уравнений. Детальные исследования, например канонические кривые и уравнения, определяющие абелевы многообразия, показывают геометрический интерес к систематическим методам работы с этими случаями. Тема тоже выросла из теория исключения в классической форме, в которой редукция по модулю я должен стать алгоритмическим процессом (теперь обрабатывается Базы Грёбнера на практике).

По общим причинам существуют бесплатные разрешения р как оцененный модуль по K[Икс₀, Икс₁, Икс₂, ..., Икс_N]. Разрешение определяется как минимальный если изображение в каждом модульном морфизме бесплатные модули

φ:F_я → F_{я − 1}

в резолюции заключается в JF_{я − 1,} куда J неуместный идеал. Как следствие Лемма Накаямы, φ принимает заданный базис в F_я к минимальному набору образующих в F_{я − 1}. Концепция чего-либо минимальное бесплатное разрешение хорошо определен в строгом смысле слова: уникальный вплоть до изоморфизм цепные комплексы и происходит как прямое слагаемое в любом свободном разрешении. Поскольку этот комплекс присущ р, можно определить оцененные числа Бетти β_{я, j} как номер сорта-j изображения поступают из F_я (точнее, если рассматривать φ как матрицу однородных многочленов, количество элементов этой однородной степени, увеличиваемое градуировками, полученными индуктивно справа). Другими словами, веса всех свободных модулей могут быть выведены из разрешения, а градуированные числа Бетти подсчитывают количество генераторов с заданным весом в данном модуле разрешения. Свойства этих инвариантов V в данном проективном вложении ставит активные исследовательские вопросы даже в случае кривых.^[1]

Есть примеры, когда минимальное свободное разрешение известно явно. Для рациональная нормальная кривая это Комплекс Игон – Норткотт. За эллиптические кривые в проективном пространстве резольвента может быть построена как картографический конус комплексов Игона – Норткотта.^[2]

Регулярность

В Регулярность Кастельнуово – Мамфорда. можно считывать минимальное разрешение идеального я определяя проективное многообразие. С точки зрения вмененных «сдвигов» а_{я, j} в я-й модуль F_я, это максимум больше я из а_{я, j} − я; поэтому оно мало, когда сдвиги увеличиваются только на единицу при перемещении влево в разрешении (только линейные сизигии).^[3]

Проективная нормальность

Разнообразие V в своем проективном вложении проективно нормальный если р является целиком закрытый. Из этого условия следует, что V это нормальный сорт, но не наоборот: свойство проективной нормальности не зависит от проективного вложения, как показывает пример рациональной кривой квартики в трех измерениях.^[4] Другое эквивалентное условие выражается в линейная система делителей на V вырезано двойным из пучок тавтологических линий на проективном пространстве, и его d-ые степени для d = 1, 2, 3, ...; когда V является неособый, она проективно нормальна тогда и только тогда, когда каждая такая линейная система является полная линейная система.^[5] В качестве альтернативы можно думать о двойственном тавтологическом линейном расслоении как о Крученая связка Серра О(1) на проективном пространстве и использовать его для скручивания структурного пучка О_V любое количество раз, скажем k раз, получив связку О_V(k). потом V называется k-нормальный если глобальные разделы О(k) сюръективно отображаются в О_V(k), для данного k, и если V 1-нормальный он называется линейно нормальный. Неособое многообразие проективно нормально тогда и только тогда, когда оно k-нормально для всех k ≥ 1. Линейная нормальность также может быть выражена геометрически: V поскольку проективное многообразие не может быть получено изоморфным линейная проекция из проективного пространства более высокой размерности, за исключением тривиального пути, лежащего в собственном линейном подпространстве. Проективную нормальность можно аналогичным образом перевести, используя достаточно Карты Веронезе свести его к условиям линейной нормальности.

Рассматривая проблему с точки зрения данного очень обширный линейный комплект приводя к проективному вложению V, такой линейный пучок (обратимая связка ) называется нормально генерируется если V как вложенный является проективно нормальным. Проективная нормальность - первое условие N₀ последовательности условий, определенных Грином и Лазарсфельдом. За это

{ displaystyle bigoplus _ {d = 0} ^ { infty} H ^ {0} (V, L ^ {d})}

рассматривается как градуированный модуль над однородным координатным кольцом проективного пространства, и берется минимальная свободная резольвента. Условие N_п применяется к первому п оценил числа Бетти, требуя, чтобы они исчезали, когда j > я + 1.^[6] Для кривых Грин показал, что условие N_п выполняется, когда deg (L) ≥ 2грамм + 1 + п, который для п = 0 был классическим результатом Гвидо Кастельнуово.^[7]

Смотрите также

Примечания

^ Дэвид Эйзенбуд, Геометрия сизигий, (2005, ISBN 978-0-387-22215-8), стр. 5–8.
^ Эйзенбуд, гл. 6.
^ Эйзенбуд, гл. 4.
^ Робин Хартшорн, Алгебраическая геометрия (1977), стр. 23.
^ Хартсхорн, стр. 159.
^ См. Например Елена Рубей, О сизигиях абелевых многообразий, Труды Американского математического общества, Vol. 352, № 6 (июнь 2000 г.), стр. 2569–2579.
^ Джузеппе Парески, Сизигии абелевых многообразий, Журнал Американского математического общества, Vol. 13, No. 3 (июл, 2000 г.), стр. 651–664.