Кольцо новикова - Novikov ring

В математике с учетом аддитивной подгруппы ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} }$, то Кольцо новикова ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ из ${\displaystyle \Gamma }$ это подкольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]}$^[1] состоящий из формальные суммы ${\displaystyle \sum n_{\gamma _{i}}t^{\gamma _{i}}}$ такой, что ${\displaystyle \gamma _{1}>\gamma _{2}>\cdots }$ и ${\displaystyle \gamma _{i}\to -\infty }$. Это понятие было введено Сергей Новиков в статьях, положивших начало обобщению Теория Морса с использованием закрытой формы вместо функции. Это понятие используется в квантовые когомологии, среди других.

Кольцо Новикова ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ это главная идеальная область. Позволять S быть подмножеством ${\displaystyle \mathbb {Z} [\Gamma ]}$ состоящий из элементов с ведущим членом 1. Поскольку элементы S являются единичными элементами ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$, то локализация ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )[S^{-1}]}$ из ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ относительно S это подкольцо ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ называется "рациональной частью" ${\displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$; это также главная идеальная область.

Числа Новикова

Учитывая гладкая функция ж на гладкое многообразие ${\displaystyle M}$ с невырожденными критическими точками обычная Теория Морса строит бесплатный цепной комплекс ${\displaystyle C_{*}(f)}$ такой, что (интегральный) ранг ${\displaystyle C_{p}}$ количество критических точек ж индекса п (называется числом Морзе). Он вычисляет (интеграл) гомология из ${\displaystyle M}$ (ср. Гомологии Морса ):

${\displaystyle H^{*}(C_{*}(f))\cong H^{*}(M,\mathbb {Z} )}$

По аналогии с этим можно определить «числа Новикова». Позволять Икс - связный многогранник с базовой точкой. Каждый класс когомологий ${\displaystyle \xi \in H^{1}(X,\mathbb {R} )}$ можно рассматривать как линейный функционал на первой группе гомологий ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {R} )}$; при составлении с Гомоморфизм Гуревича, его можно рассматривать как гомоморфизм групп ${\displaystyle \xi \colon \pi =\pi _{1}(X)\to \mathbb {R} }$. По универсальному свойству это отображение, в свою очередь, дает гомоморфизм колец,

${\displaystyle \phi _{\xi }\colon \mathbb {Z} [\pi ]\to \operatorname {Nov} =\operatorname {Nov} (\mathbb {R} )}$,

изготовление ${\displaystyle \operatorname {Nov} }$ модуль над ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$. С Икс это связаны многогранник, а система местных коэффициентов над ним однозначно соответствует ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$-модуль. Позволять ${\displaystyle L_{\xi }}$ - локальная система коэффициентов, соответствующая ${\displaystyle \operatorname {Nov} }$ со структурой модуля, заданной ${\displaystyle \phi _{\xi }}$. Группа гомологий ${\displaystyle H_{p}(X,L_{\xi })}$ является конечно порожденным модулем над ${\displaystyle \operatorname {Nov} ,}$ что, по структурная теорема, прямая сумма его свободной части и ее торсионной части. Ранг свободной части называется числом Новикова Бетти и обозначается ${\displaystyle b_{p}(\xi )}$. Число циклических модулей в торсионной части обозначается через ${\displaystyle q_{p}(\xi )}$. Если ${\displaystyle \xi =0}$, ${\displaystyle L_{\xi }}$ тривиально и ${\displaystyle b_{p}(0)}$ обычное число Бетти Икс.

Аналог Неравенства Морса справедливо и для чисел Новикова (см. пока ссылку).

Примечания

1. Здесь, ${\displaystyle \mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]}$ кольцо, состоящее из формальных сумм ${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }n_{\gamma }t^{\gamma }}$, ${\displaystyle n_{\gamma }}$ целые числа и т формальная переменная, такая, что умножение является продолжением умножения в интеграле групповое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\Gamma ]}$.

Рекомендации

• Фарбер, Майкл (2004). Топология замкнутых одноформ. Математические обзоры и монографии. 108. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3531-9. Zbl  1052.58016.
• Новиков С.П., Многозначные функции и функционалы: аналог теории Морса. Советская математика - Доклады 24 (1981), 222–226.
• Новиков С.П .: Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Российские математические обзоры 35: 5 (1982), 1–56.

внешняя ссылка

• Различные определения кольца Новикова?